2015江南十校高三联考数学(文)试题及答案

2015年安徽省“江南十校”高三联考数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数22ii（i为虚数单位）的虚部为（）A．35B．45C．35iD．45i2、设集合ln,1yyxx，集合24xyx，则Rð（）A．B．0,2C．2,D．,22,3、设命题:p3,1a，,2bm，且//ab；命题:q关于x的函数255xymma（0a且1a）是指数函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（）A．0B．1C．212D．125、设等比数列na的前n项和为nS，且32S，66S，则131415aaa的值是（）A．18B．28C．32D．1446、若函数21xya（0a且1a）的图象经过定点,mn，且过点Q1,mn的直线l被圆C:222270xyxy截得的弦长为32，则直线l的斜率为（）A．1或7B．7或43C．0或43D．0或17、已知点0,1、2,3、C1,2、D1,5，则向量C在D方向上的投影为（）A．21313B．21313C．1313D．13138、已知函数133sin1cos22fxaxax，将fx图象向右平移3个单位长度得到函数gx的图象，若对任意Rx，都有4gxg成立，则a的值为（）A．1B．1C．2D．29、已知函数12010xxfxfxx若函数gxfxxa在R上恰有两个相异零点，则实数a的取值范围为（）A．1,B．1,C．,0D．,110、在正方体1111CDCD中，①经过点垂直于平面1D的直线也垂直于平面11DC；②设为C和D的交点，则异面直线1与1C所成的角是6；③若正方体的棱长为2，则经过棱11DC、11C、1中点的正方体的截面面积为33；④若点是正方形CD内（包括边界）的动点，点Q在对角线1C上，且满足1QC，Q，则点的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在Rx，使得22110xx”的否定是．12、30log2sin330213．13、若实数x，y满足约束条件430260xxyxy，则21yx的取值范围为．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：11,021,130,141,151,061,170,181,192,1122,2162,2202,2253,2，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350坐标为．15、若曲线C上任意一点与直线l上任意一点的距离都大于1，则称曲线C“远离”直线l．在下列曲线中，“远离”直线:l2yx的曲线有．（写出所有符合条件的曲线C的编号）①曲线C:250xy；②曲线C:2924yxx；③曲线C:2251xy；④曲线C:1xye；⑤曲线C:ln2yx．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数4sincos16fxxx．求函数fx的最小正周期；在C中，角，，C的对边分别为a，b，c，若2f，3a，C3S求22bc的值．17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，现已知成绩落在90,100的有5人．求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；现要从成绩在40,50和90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列na满足22124nnnnnaaaaa（n），且11a，24a．证明：数列na是等差数列；设121nnnnbaa，nb的前n项和为nS，求证：1nS．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1的底面圆半径为2，CD为经过圆柱轴1的截面，点在上且13，Q为D上任意一点．求证：Q；若直线D与面CD所成的角为30，求圆柱1的体积．20、（本小题满分13分）已知函数1ln1axfxaxx，其中0a．当1a时，求曲线yfx在1,1f处的切线方程；讨论fx在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221xyab（0ab）经过点31,2，它的左焦点为F,0c，直线1:lyxc与椭圆C交于，两点，F的周长为3a．求椭圆C的方程；若点是直线2:l3yxc上的一个动点，过点作椭圆C的两条切线、，、分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221xyab（0ab）上一点00,xy的椭圆的切线方程为00221xxyyab）参考答案1.B．22(2)342(2)(2)55iiiiii，故选B2.C．0,22AxxBxx，=2x2,RCBxx或=2,RACBxx故选C3.A．命题:320,6pmm；命题2:55116qmmm由得或，故选A4.A．由程序框图可知，最后输出的215sinsinsin0444p，故选A5.C．由等比数列性质可知363961291512,SSSSSSSSS，，，也成等比，易求出131415151232aaaSS,故选C6.A．(22),(12)PQ，，,设2(1),20lykxkxyk：即，圆C：22(1)(1)9xy，圆心-1,1C（）到l的距离2221233(2)21kkdk2870kk，17,k或故选A7.D．(11),(32),ACBD，，AC在BD方向上的投影为22131211332ACBDBD1313,故选D8.D．13()sincos3sincos22fxaxaxxx=sin()2cos()33axx()()sin2cos3gxfxaxx，由题意得(gx）图象关于直线4x对称，()(0),22gga，故选D9B．()0()gxfxxa，当1,0x时，10,1x，()(1)1fxfxx，故把yx图象在0,1上的部分向左平移1个单位得到()fx在1,0上的图象，再把()fx在1,0上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()fx在R上的图象，再作出yxa的图象，由图象可得1a，1a，故选B10.D．易证1//ABD面11BDC选，①正确；11//ABDC，1OCD就是异面直线1AB与1OC所成的角．1,BDOCBDCC，BD面1OCC，1BDOC，又11122ODBDCD，16OCD，②正确；设棱111111,,,,,BDBCBBABADDD的中点分别为,,,,,EFGHMN，则过点,,EFG的正方形截面就是正六边形EFGHMN，2362334S，③正确；连结1AP，易证1AAAP，又1PQAC，11,PAPQPAPA，1111,RtAPARtAPQAAAQ，Q为1AC上定点，又PAPQ，点P在线段AQ的中垂面上，点P在AQ的中垂面与正方形ABCD的交线上，④正确；故选D11.对任意xR，都有22110xx．12.52原式15sin(30)12322．13.4,4521yx可看作点1,0P与点,xy连线斜率的2倍，画出可行域，由4260xxy得4,2A,由30260xyxy得1,4B,2,2,5PAPBkk21yx的取值范围为4,45．14.1,9以O为中心，边长为2的正方形上共有格点18a个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为1,1以O为中心，边长为4的正方形上共有格点216a个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为2,2以O为中心，边长为6的正方形上共有格点324a个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为3,3………以O为中心，边长为2n的正方形上共有格点8nan个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为,nn，由前n个正方形上格点的总数123nSaaa…81624na…(88)83502nnn得9n．当9n时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为3609,9A，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A坐标为1,9．15.②③⑤对①：25121d，不合题意；对②：设直线1:2lyxb与曲线29:24Cyxx相切，把2yxb代入2924yxx得2904xb，由90404b，得94b，此时直线1l与l的距离98141805d，符合题意；对③：圆心0,5C到直线l的距离0555d，圆C上的点到l距离的最小值为511，符合题意；对④：设曲线C上斜率为2的切线的切点为00,Pxy，'xye，00'2,xxxkye0ln2x，ln2,3P，切线：32ln2yx，即：232ln20xy，切线与C的距离32ln23ln455d，ln41,2，3ln41,2，而52,1d，不合题意；对⑤：设切点为00,Pxy，'1yx，0'012,xxkyx012x，1,2ln22P，1ln223ln21,55d符合题意。16.解：（I）4sincoscossinsin166fxxxx=223sincos2sin1xxx=3sin2cos22sin26xxx…………3分22T…………5分（II）2sin22,sin2166fAAA,又130,2,2,666626AAAA…………7分1sin3,432ABCSbcAbc…………9分又22222232cos12abcbcAbc，2221bc…………12分17.解：（I）该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数为5500.