2015年东北三省四市联合体高三三模数学(理)试题及答案

2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知全集BACBAUU）则（},4,2{},4,1{},4,3,2,1{.A∅.B}2{.C}4{.D}4,3,2{2、若复数ibi21是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b.A2.B12.C12.D23、执行下面的程序框图，那么输出的S等于.A42.B56.C72.D904、设3log3a，2lnb，215c，则.Aabc.Bcab.Cbca.Dcba5、已知nx)1(（*Nn）的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为.A36.B45.C55.D1206、已知na为等差数列且公差0d，其首项201a，且973,,aaa成等比数列，nS为na的前n项和，*Nn，则10S的值为().A110.B90.C90.D1107、某抛物线的通径与圆0112422yxyx的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为.A2.B4.C6.D8否是结束开始输出SK=K+1S=S+2KK≤8S=0K=18、某数学教师一个上午有3个班级课，每班一节。如果上午只能排4节课，并且不能连上3节课，则这位教师上午的课表有（）种可能的排法.A6.B8.C12.D169、函数)0,0(),sin()(AxAxf的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则)2015(f=.A1.B2.C-1.D210、偶函数||log)(bxxfa在)0,(上单调递减，则)2()1(bfaf与的大小关系是.A)2()1(bfaf.B)2()1(bfaf.C)2()1(bfaf.D不能确定11、F为双曲线12222byax的右焦点，点P在双曲线右支上，POF（为坐标原点O）满足,5OPOF2PF，则双曲线的离心率为.A3.B2.C5.D1312.定义在R上的函数()(2)()1,[0,1],()4xfxfxfxxfx满足且时，(1,2)x时，(1)()ffxx，令4)(2)(xxfxg，]2,6[x,则函数)(xg的零点个数为.A6.B7.C8.D9二填空题：本大题共4小题，每小题5分13、边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则AEACAB)(=.14．如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为.15、甲乙两位同学约定早上7点至12点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去。设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，则二人能会面的概率为.16、棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，点PNM,,分别为111,,DDBCAB的中点，给出下列结论：①MN⊥1AA②直线MC1与平面ABCD所成角的正弦值为55③MN⊥BP④四面体11CDAB的体积为31则正确结论的序号为.17.（本小题满分12分）已知xxxf2cos22sin3)(，ABC的三边cba,,对应的角分别为CBA,,，其中2)(Af.(1)求角A的大小；（2）当2a时，求ABC面积的最大值.18.（本小题满分12分）全国学生的体质健康调研最新数据表明，我国小学生近视眼发病率为22.78％，初中生为55.22％，高中生为70.34％.。影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素。主要原因是环境因素，学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间安排很容易引起近视。除了学习，学生平时日常爱看电视、上网、玩电子游戏，不喜欢参加户外体育活动都是造成近视情况日益严重的原因。为了解情况现从哈市某中学随机抽取18名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：50112434455566677899学生视力测试结果(1)求这18名学生视力的平均数（精确到0.1）和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“正常视力”，①求校医从这18人中随机选取3人，至多有1人是“正常视力”的概率；②以这18人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“正常视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图：四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PABCDaPDPC.(1)求证：PD⊥BC；（2）若二面角BPCA的大小为6，求a的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆)1(,1222ayax，过点)0,(aA斜率为)0(kk的直线交椭圆于点B.直线)(为坐标原点OBO交椭圆于另一点C.（1）当2a时是否存在k使得||||BCAC?（2）若]1,21[k，求ABC的面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数)1(3)1ln()1ln()(23xxxxaxaxf.（1）当10x时，0)(xf，求实数a的取值范围；（2）证明：)1(1211ln)21(23ln252ln23nnnnnn（*Nn）.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F.（1）求证：ABE∽ADC；（2）若844CFCDBD，求ABC的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）直角坐标系中曲线C的参数方程为)(sin2cos4为参数yx.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点)1,2(M作直线l交曲线C于BA,两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率.24.（本小题满分10分）已知,1,1,1cba且10ab.(1)求balglg的最大值；（2）求证：cccbalg4loglog.2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）理科数学答案123456789101112BACBADACDACC13、614、15、16、①③④17.（1）……………（1分），……………（3分）又……………（4分），……………（5分）……………（6分）（2）……………（8分）又（当且仅当时取等号）……………（9分）面积……………（10分）所以面积的最大值为……………（12分）18.（1）由茎叶图这18名学生视力的平均数为；……………（2分）中位数为4.65……………（4分）（2）①“正常视力”人数为4人，设事件A为至多1人是“正常视力”，则P(A)=,故在18人中随机抽3人，至多1人为“正常视力”的概率为.……………（6分）②由题可知，故，……………（8分）的分布列为：0123P……………（10分）……………（12分）19.（1）⊥，=，且，⊥所以⊥，……………（2分）⊥……………（4分）[来源:Z#xx#k.Com]（2）取的中点为，连接⊥，，=，且，⊥所以⊥……………（6分）以为原点，射线方向为轴，射线方向为轴，平行于的方向为轴建立空间坐标系，，设的法向量为……………（7分）的法向量为……………（8分）……………（10分）……………（11分）……………（12分）20.(1)设直线的方程为，代入椭圆方程得将代入得……………（1分）则的中点坐标为……………（2分），……………（3分）……………（4分）解得……………（5分）所以存在使得……………（6分）（2）由（1）得，……………（7分）的面积……………（8分）令，当时，，在[1,2]上单调递减，所以当时的面积的最大值为……………（10分）当时在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的面积的最大值为……………（12分）21.（1）解：，……………（1分）依题知，故，则。……………（2分）令，①，此时，故，而，所以符合题意。……………（4分）②，而对称轴，故在单调递增且，则，故，而，所以符合题意。……………（6分）综上，。……………（7分）（2）证明：由（1）知，当时，，即。……………（8分）令，则，（10分）裂项累加所以。（12分）22.（1）是直径，……………（1分）又……………（2分）∽……………（4分）（2），……………（5分）……………（7分）……………（8分），……………（9分）由（1）得所以的外接圆的半径为……………（10分）23.（1）由曲线的参数方程为，得……………（2分）所以曲线的直角坐标方程为……………（4分）（2）设直线的倾斜角为直线的参数方程为，……………（5分）代入曲线的直角坐标方程得……………（6分）……………（7分）由题意可知，……………（8分）代入上式得即……………（9分）所以直线的斜率为……………（10分）24.（1）由题意可知，……………（1分）即……………（2分）（当且仅当）的最大值为……………（4分）(2)要证：即证：……………（5分）由于则即证：……………（7分）已知，则即证：……………（9分）由（1）知成立，所以原不等式成立……………（10分）