2012高考数学压轴题及答案(理)

2012年江西省高考压轴卷数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1．复数201121ii（i为虚数单位）的虚部是（）A．15iB．15C．15iD．152．设33tan,,sincos32则的值（）A．1322B．1322C．1322D．13223．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”．B．“1x”是“2560xx”的必要不充分条件．C．命题“存在xR，使得210xx”的否定是：“对任意xR，均有210xx”．D．命题“若，则sinsin”的逆否命题为真命题．4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（）5．右面是“二分法”求方程3310xx在区间(0,1)上的近似解的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（）A．()()0;fafmam；是；否B．()()0;fbfmmb；是；否C．()()0;fbfmbm；是；否D．()()0;fbfmbm；否；是6．已知数列na的通项公式是21232nann，其前n项和是nS，对任意的,mnN且mn，则nmSS的最大值是（）A．21B．4C．8D．107．已知双曲线221(0,0)mxnymn的离心率为2，则椭圆221mxny的离心率为（）A．13B．33C．63D．2338．函数1cosyxx在坐标原点附近的图象可能是（）9．如右图，给定两个平面向量OA和OB，它们的夹角为120，点C在以OOABMNCP为圆心的圆弧AB上，且OCxOAyOB（其中,xyR），则满足2xy的概率为（）A．21B．34C．4D．310．已知函数()yfx是定义在实数集R上的奇函数，且当(,0)x时，()()xfxfx成立（其中()()fxfx是的导函数），若3(3)af，2211(lg3)(lg3),(log)(log)44bfcf，则,,abc的大小关系是（）A．cabB．cbaC．abcD．acb二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上11.若二项式61()axx的展开式中的常数项为160,则11()axdxx=.12．如果函数()sin()(0)4fxx在区间(1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则的取值范围是．13．已知实数,xy满足05030xyxyy„…„，若不等式222()()axyxy„恒成立，则实数a的最大值是________________．14．已知三棱锥OABC，OAOBOC、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在OBC内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面OABOBCOAC、、围成的几何体的体积为．选做题（本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分）15．①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点(1cos,sin)P，参数[0,]，点Q在曲线C：92sin()4上，则点P与点Q之间距离的最小值为．②（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|3|||5xxm,则实数m的取值范围是___．2012年江西省高考压轴卷数学理答题卡一、选择题题12345678910答二、非选择题11、12、13、14、15、①②三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（12分）已知函数21()3sincoscos2fxxxx，.xR（1）求函数()fx的最大值和最小正周期；（2）设ABC的内角,,ABC的对边分别,,,abc且3c,()0fC，若sin()2sinACA，求,ab的值．17．（12分）目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在15,25,25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．18．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB．点EF、分别在边CDCB、上，点E与点CD、不重合，,EFACEFACO．沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEF平面ABFED．（1）求证：BD平面POA；（2）设点Q满足(0)AQQP，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于4？并说明理由．19．（12分）设数列{}na的前n项和为nS，且满足*21,.nnaSnN（1）求数列{}na的通项公式；（2）在数列{}na的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{}nb，在1nnaa和两项之间插入n个数，使这2n个数构成等差数列，求2012b的值；（3）对于（2）中的数列{}nb，若mnba，并求123mbbbb（用n表示）．20.（13分）设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12FF、，上顶点为A，离心率为12，在x轴负半轴上有一点B，且212.BFBF（1）若过2ABF、、三点的圆恰好与直线330xy相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点2F作斜率为k的直线l与椭圆C交于MN、两点，在x轴上是否存在点(,0)Pm，使得以,PMPN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（本题满分14分）2012年江西省高考压轴卷数学理试卷参考答案1—5BADDC6—10DCABA11．422ln2312．15,4413．251314．615．①42-1②(2,8)16．解析：（1）1)62sin(2122cos12sin23)(xxxxf……………．3分则)(xf的最大值为0，最小正周期是22T……6分（2）01)62sin()(CCf则1)62sin(C6116262200CCC3262CCsin()2sinACA由正弦定理得21ba①………………………………9分由余弦定理得3cos2222abbac即922abba②由①②解得3a32b………………………………………12分17．解：（1）（2）所有可能取值有0，1，2，3，22842251062884(0)1045225CCPCC，21112882442222510510428616104(1)10451045225CCCCCPCCCC111228244222225105104166135(2)10451045225CCCCCPCCCC124222510412(3)1045225CCPCC………………………………………………10分所以的分布列是0123P84225[104225352242225所以的期值是104706402252252255E……………………………………12分18．解：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BDAC，∴BDAO，∵EFAC，∴POEF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF平面ABFEDEF，且PO平面PEF，∴PO平面ABFED,∵BD平面ABFED，∴POBD．∵AOPOO，∴BD平面POA．………………………………4分（2）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz．设.AOBDH因为60DAB，所以BDC为等边三角形，故4BD，2,23HBHC．又设POx，则23OHx，43OAx．所以(0,0,0)O，(0,0,)Px，(23,2,0)Bx，故(23,2,)PBOBOPxx，所以2222(23)22(3)10PBxxx，当3x时，min10PB．此时3PO，……6分设点Q的坐标为,0,ac，由（1）知，3OP，则(33,0,0)A，(3,2,0)B，(3,2,0)D，(0,0,3)P．所以33,0,AQac，,0,3QPac，∵AQ=QP，∴33,3aacc∴333(,0,)11Q，∴333(,0,)11OQ．10分设平面PBD的法向量为(,,)nxyz，则0,0nPBnBD．∵3,2,3PB，0,4,0BD，∴3230,40xyzy取1x，解得：0,y1z，所以(1,0,1)n．………………………………8分设直线OQ与平面PBD所成的角，∴222333113sincos,293332()()11OQnOQnOQn2221961619922．又∵0∴2sin2．∵[0,]2，∴4．因此直线OQ与平面PBD所成的角大于4，即结论成立．……………………………12分19．解：（1）当1n时，由111211aSa.又1121nnaS与21nnaS相减得：12nnaa，故数列na是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nna；…………4分（2）设na和1na两项之间插入n个数后，这2n个数构成的等差数列的公差为nd，则11211nnnnaadnn，又(12361)611952,2012195260，故61616220126262261(601)2592.6363bad………………………………8分（3）依题意，123mbbbb23341122314()5()(1)()3()()2222nnnaaaanaaaaaaa12311357(21)22nnaaanana，考虑到12nnaa，令123357(21)nMaaana，则23412357(21)nMaaana1231122()(21)nnMMaaaaana(21)21nMn，所以2123111(32)2.222nmnbbbbMnan…………………………12分20．解：（1）由题意21ac，得ac21，所以aFF21又12AFAFa由于212BFBF，所以1F为2BF的中点，所以1212AFAFFFa所以2ABF的外接圆圆心为1(,0)2aF，半径1rFAa…………………3分又过2ABF、、三点的圆与直线:330gxy相切，所以aa2321解得2a，2221,3.cbac所求椭圆方程为22143xy6分（2）有（1）知2(1,0)F,设l的方程为：)1(xky将直线方程与椭圆方程联立22(1)143ykxxy,整理得22223484120kxkxk（）设交点为1122(,),(,)MxyNxy，因为2340k则212121228,(2)34kxxyykxxk……………………………………8分若存在点(,0)Pm，使得以,PMPN为邻边的平行四边形是菱形，由于菱形对角线垂直，所以0).(MNPNPM又11221212(,)(,)(