2011湖南省高考数学试题(理科数学)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。参考公式：（1）()()()PABPBAPA，其中,AB为两个事件，且()0PA，（2）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高。（3）球的体积公式343VR，其中R为求的半径。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若,abR，i为虚数单位，且()aiibi则A．1a，1bB.1,1abC.1,1abD.1,1ab2.设集合21,2,,MNa则“1a”是“NM”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.9122B.9182C.942D.36184.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22nadbckabcdacbd算得，22110403020207.860506050k.参照附表，得到的正确结论是A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线222109xyaa的渐近线方程为320xy，则a的值为A.4B.3C.2D.16.由直线,,033xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为A.12B.1C.32D.37.设m＞1，在约束条件1yxymxxy下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为A.（1，12）B.（12，）C.（1,3）D.（3，）8.设直线x=t与函数2()fxx()lngxx的图像分别交于点M,N,则当MN达到最小时t的值为A.1B.12C.52D.22填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos,1sinxy（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为cossin10p，则C1与C2的交点个数为10.设,xyR,则222211()(4)xyyx的最小值为。11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为。（二）必做题（12～16题）12.设nS是等差数列{}na()nN，的前n项和，且141,7aa，则9S=.13.若执行如图3所示的框图，输入11x，232,3,2xxx,则输出的数等于。14.在边长为1的正三角形ABC中,设2,3,BCBDCACE则3,ADBECE=__________________.15.如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴C影部分）内”，则（1）P(A)=_____________；(2)P(B|A)=.16.对于nN,将n表示12100121222...22kkkkknaaaaa,当io时，1ia,当1ik时,1a为0或1.记()In为上述表示中1a为0的个数（例如：021012,4120202I）,故(1)0I,(4)2I),则（1）(12)I________________;(2)()12mfnn________________;三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.(Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求3sinA-cos(B+4)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。18.（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。19.（本小题满分12分）如图5，在圆锥PO中，已知PO=2，O的直径2AB,C是AB的中点，D为AC的中点.(Ⅰ)证明：平面POD平面PAC;(Ⅱ)求二面角BPAC的余弦值。20.（本小题满分13分）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为()ccR。E移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vc×S成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时。（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。21.(本小题满分13分）如图7，椭圆22122:1(0)xyCabyb的离心率为32，x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于1C的长半轴长。（Ⅰ）求1C，2C的方程；（Ⅱ）设2C与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与2C相交于点A,B,直线MA,MB分别与1C相交与D,E.(i)证明：MD⊥ME;(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是1s,2s.问：是否存在直线l,使得21SS=3217?请说明理由。22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=3x，g(x)=x+x。（Ⅰ）求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数。并说明理由；（Ⅱ）设数列{na}（nnN）满足1(0)aaa，1()()nnfaga，证明：存在常数M,使得对于任意的nnN，都有na≤M.