专题54-直线的方程(解析版)

专题54直线的方程专题知识梳理1．当直线l与x轴相交时，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l的倾斜角，并规定：直线l与x轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．2．当倾斜角α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，常用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，斜率不存在．当直线过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2时，k＝2121yyxx．3．直线方程的几种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式112121yyxxyyxx不含垂直于坐标的直线截距式1xyab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用考点探究考向1直线的斜率与倾斜角【例】（1）已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．（2）直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是．(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．【解析】（1）设直线l的倾斜角为α.则直线AB的倾斜角为2α，由题意可知：tan2α＝2(5)33(1)4，∴22tan31tan4，整理得3tan2α＋8tanα－3＝0，解得1tan3或tanα＝－3，∵3tan204，∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，故直线l的斜率为13.（2）,43．直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈,63，所以13cos22，因此k＝2cosα∈[1,3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1,3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈,43，即倾斜角的取值范围是,43.(3)(,3][1,)．如图，∵kAP＝1021＝1，kBP＝30301，∴k∈(,3][1,)．题组训练1.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_______．【解析】题意得412mm，解得m＝1.2.(2018·南京名校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．【解析】设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为30,,243.经过两点(1,3),(3,1)的直线的倾斜角为__．【解析】因为经过两点(1,3),(3,1)的直线的斜率为13131k，所以倾斜角为45.考向2直线方程【例】根据所给条件求直线的方程：(1)过点P(－2,4)且斜率k＝3的直线l的方程；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；【解析】(1)由题设知，该直线可采用点斜式．直线l的方程为y－4＝3[x－(－2)]，即3x－y＋10＝0.(2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为0，故可设直线方程为112xyaa.因为直线过点(－3，4)，所以34112aa，解得a＝－4或9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.题组训练1.倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是________．【解析】由于倾斜角为120°，故斜率3k.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为3(1)yx，即330xy2.求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．【解析】当直线不过原点时，设所求直线方程为12xyaa，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得25k，所以直线方程为25yx，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.3.直线l过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程是【解析】当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0.当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得210551kk，解得34k.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.4.过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【解析】若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.考向3直线方程的综合问题【例】（1）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．（2）已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解析】（1）由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积22112(2)2(2)422Saaaa2115()24a，当12a时，四边形的面积最小．（2）方法一设直线方程为1(0,0)xyabab，把点P(3,2)代入得32612abab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当32ab时等号成立，这时23bka，从而所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.方法二由题意知，直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k0)，且有2(3,0)Ak，B(0,2－3k)，∴121414(23)(3)12(9)122(9)22()2()OABSkkkkkk1(1212)122当且仅当49kk，即23k时，等号成立．即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.题组训练1.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为____________．【解析】①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得22xk，依题意有122222k，即111k，解得12k，所以直线m的方程为12(2)2yx－＝－，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.2.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为a－2a＋1，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以a－2a＋1＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以－（a＋1）0a－2≤0或－（a＋1）＝0a－2≤0，解得a≤－1.综上所述，a≤－1.3.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．【解析】由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33x.设A(m，m)，B(－3n，n)，所以AB的中点C(m－3n2，m＋n2)．由点C在直线y＝12x上，且A，P，B三点共线得m＋n2＝12·m－3n2m－0m－1＝n－0－3n－1，解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3＋32，所以lAB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.4.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．【解析】(1)证明：直线l的方程可以变形为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．故k≥0.(3)由l的方程得A(－1＋2kk，0)B(0，1＋2k)．依题意得k0.∵S＝12|OA|·|OB|＝12|1＋2kk|·|1＋2k|＝12·（1＋2k）2k＝12(4k＋1k＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当k0且4k＝1k，即k＝12时，等号成立，Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.