2014--2015年朝阳区高三数学理科期末试题及答案

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i为虚数单位，则复数1iiz在复平面内对应的点所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.过抛物线24yx的焦点F的直线l交抛物线于,AB两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为A．6B．9C．12D．无法确定3．设函数()sin(2)3fxx的图象为C，下面结论中正确的是A．函数()fx的最小正周期是B．图象C关于点(,0)6对称C．图象C可由函数()sin2gxx的图象向右平移3个单位得到D．函数()fx在区间(,)2上是增函数4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A．426B．8C．423D．435．，表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若m，l，l，则“l∥m”是“l∥且l∥”的A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC中，π4B，则sinsinAC的最大值是A．124B．34C．22D．2247．点O在ABC的内部，且满足24OAOBOC0，则ABC的面积与AOC的面积之比是A．72B．3C．52D．28.设连续正整数的集合1,2,3,...,238I，若T是I的子集且满足条件：当xT时，7xT，则集合T中元素的个数最多是（）A.204B.207C.208D.209第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P，则sin(π)的值是．10．双曲线22:Cxy（0）的离心率是；渐近线方程是．11．设不等式组240,0,0xyxy表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆221xy内的概率为．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．13．在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sinπ()()ππxxxfxxR．下列命题：①函数()fx既有最大值又有最小值；②函数()fx的图象是轴对称图形；③函数()fx在区间[π,π]上共有7个零点；④函数()fx在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．O频率组距203040506080700.010.030.02年龄16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAB底面ABCD，PAAB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF//平面PAC；（Ⅱ）求证：AEPF；（Ⅲ）若2PBAB，二面角EAFB的余弦值等于1111，试判断点F在边BC上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a，2a，3,,maa（m是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)imiaaim，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{nb是25项的“对称数列”，且,13b,14b15,b，25b是首项为1，公比为2的等比数列．求}{nb的所有项和S；（Ⅱ）若}{nc是50项的“对称数列”，且,26c,27c28,c，50c是首项为1，公差为2的等差数列．求}{nc的前n项和nS，150,nnN.DPCBFAE18．（本小题满分13分）设函数2e(),1axfxaxR．（Ⅰ）当35a时,求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）设()gx为()fx的导函数，当1[,2e]ex时，函数()fx的图象总在()gx的图象的上方，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点3(1,)2，离心率为32．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为14的直线分别交椭圆C于,MN两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()fxxxxxxx，1x，2x，3xR,且123xxx．（Ⅰ）当10x，21x，32x时，若方程()fxmx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程()0fx有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0fx的两个实数根是,，试比较122xx与,的大小并说明理由．