人教A版选修1-1数学《解密导数的几何意义》特色训练(2)含答案

专题08解密导数的几何意义一、选择题1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数2gfxxx，曲线ygx在点1,1g处的切线方程为21yx，则曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率为（）A.2B.14C.4D.12【答案】C【解析】对函数2fxgxx，求导可得''2fxgxx，∵ygx在点1,1g处的切线方程为21yx，∴12g，∴'1'121224fg，∴yfx在点1,1f处切线斜率为4，故选C.2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数,,,abcd满足24ln220baacd，则22acbd的最小值为A.3B.4C.5D.6【答案】C由24lnyxx，得42yxx，令422yxx，得220xx，解得1x或2x（舍去）。所以切点为1,1。故点1,1到直线220xy的距离为211255d。故曲线上的点到直线的最小距离为5。∴22acbd的最小值为5。选C。点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子22acbd的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A.2B.2C.3D.2或3【答案】C4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数2fxaxc，且'12f，则实数a的值为（）A.1B.2C.1D.0【答案】A【解析】由题意可得2fxax，122,1faa，选A.5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线2ln1yaxx在点(2,0)处的切线方程为3yx，则a（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】由题可知：1'1yax，故切线的斜率为：1,a由134aa6．【湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考】过点A(2,1)作曲线33fxxx的切线最多有()A.3条B.2条C.1条D.0条【答案】A【解析】设切点为300,3xxx，则切线方程为320000333yxxxxx，因为过A(2,1)，所以3232000000133322670xxxxxx令32226761200,2gxxxgxxxxx，而070,210gg，所以0gx有三个零点，即切线最多有3条，选A7．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学】抛物线2yx在点11,24M处的切线的倾斜角是（）A.30B.45C.60D.90【答案】B8．【内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三9月月考】已知函数1xfxemx的图像为曲线C，若曲线C存在与直线12yx垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A.2mB.2mC.12mD.12m【答案】A【解析】1'xxfxemxfxem（），（），∵曲线C存在与直线12yx垂直的切线，'2xfxem（）成立，22xme＞，故选A9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）A.B.C.D.3【答案】C【解析】由得令，易得切点的横坐标为即切点利用点到直线的距离公式得故选C10．【宁夏银川一中2018届高三上学期第二次月考】设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为A.－1≤a2B.－1≤a≤2C.a≤2D.1≤a≤2【答案】B点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,xxfxgxyfx的值域包含于ygx的值域；1212,,xxfxgxyfx的值域与ygx的值域交集非空。二、填空题11．【四川省成都市郫都区2018届高三阶段测试（期中）】已知曲线21(00)Cypxyp：，在点4,2Mp处的切线与曲线121xCye：也相切，则214ln2epp的值是__________.【答案】4【解析】依题意得：ypx，y'=2ppx，y'|44pxp，点4,2Mp处的切线的方程为：4y24pxp，即y14px，设切线与曲线121xCye：的切点为11mme，则114{114mmpempe，解得：1{4mp,∴2214ln2ln42epep故答案为：4点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00,Pxy及斜率，其求法为：设00,Pxy是曲线yfx上的一点，则以P的切点的切线方程为：000'yyfxxx．若曲线yfx在点00,Pxfx的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．12．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】若函数lnfxx与函数20gxaxa有两个公切线，则实数a取值范围是__________.【答案】1,2e点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：①已知切点求切线方程；②已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；③已知曲线求切线倾斜角的取值范围．13．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练】已知曲线2122yx＝－上一点31,2P，则在点P处的切线的倾斜角为________．【答案】45°【解析】∵y＝12x2－2，∴2221112212222xxxxxxyxxxxx∴当Δx→0时，yx→x.∴y′|x＝1＝1，∴在点31,2P处的切线斜率为1，切线倾斜角为45°.答案：45°14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练】已知函数y＝fx的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是122yx＋，则1'1ff＋＝________.【答案】315．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】若曲线2lnfxxax的切线斜率恒为非负数，则实数a的最小值是__________．【答案】0【解析】根据导函数的几何意义得到，曲线上在某点处的切线即在这个点处的导数值，2lnfxxax，12fxaxx，根据题意即0fx在0,恒成立，变量分离得到212ax，其中x的范围是0,，故得到0a，故a的最小值为0.故答案为0.16．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二复习检测试题】一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移是43213245Sttt，那么速度为零的时刻是_______________。【答案】0t【解析】43213245Sttt，∴329'45sttt，由329'405sttt，即29405ttt（），∴解得0t，故答案为0t.17．【河南省南阳一中2018届高三上学期第三次考试】经过原点0,0作函数323fxxx图像的切线，则切线方程为__________．【答案】y=0或9x+4y=0【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．三、解答题18．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2018届高三上学期期中联考】已知函数21ln12fxxax.（1）证明：曲线yfx在1x处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若关于x的不等式1fxax恒成立，求整数a的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)2.【解析】试题分析：（1）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；（2）构造函数21ln112gxxaxax，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．试题解析：（1）21ln12fxxax，所以1fxaxx，所以111,112fafa，所以1x处的切线为11112yaax，所以12yaxx，恒过11,22；令1ln2haaa，可知为减函数，因为10,20hh，所以整数a的值为2.19．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】设函数bfxaxx，曲线yfx在点2,2f处的切线方程为74120xy.（1）求fx的解析式；（2）设gxfxx，证明：函数ygx图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【答案】(1)3fxxx；(2)证明见解析，定值为6.【解析】试题分析：（1）己知在x=2处的切线方程，切线方程中代入x=2,得y=12,所以122{724ff，可解得a,b.(2)3gxfxxx,设切点设003,Pxx，求出切线方程及切线在x轴,y轴上的交点A,B坐标，由12SOAOB可求解。（2）由题意知3gxfxxx，23'gxx.设003,Pxx为函数ygx图象上的任一点，则过点P的切线方程为020033yxxxx，令0x，则06yx；令0y，则02xx，所以过点P的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为0016262xx，故函数ygx图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6.【点睛】可导函数y=f(x)在0xx处的导数就是曲线y=f(x)在0xx处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在0xx处的切线是000yfxfxxx,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点00,xfx,把(m,n)代入000yfxfxxx,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。20．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练】求过点1,2P－且与曲线2342yxx＝－＋在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．【答案】2x－y＋4＝0.【解析】试题分析：利用导数的定义先求出斜率，再由点斜式写直线方程即可.点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。（1）“曲线在点P处的切线”表示点P为切点，且点P在曲线上，过点P的切线只有一条；（2）“曲线过点P的切线”表示点P不一定在曲线上，即使点P在曲线上时也不一定为切点，此时过点P的切线不一定只有一条。21．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练】已知曲线y＝x3，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程．【答案】（1）3x－y－2＝0；（2）3x－y－2＝0【解析】试题分析：