河南省郑州市2018届高三上入学考试数学试题(文)含答案

郑州2017-2018上期高三入学测试文科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{6}AxNn，2{30}BxRxx，则AB（）A．{3,4,5,6}B．{36}xxC．{4,5,6}D．{036}xxx或2.已知2aibii（,abR），其中i为虚数单位，则ab（）A．-3B．-2C．-1D．13.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（）A．35B．25C．15D．3104.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．96里B．48里C.192里D．24里5.已知抛物线28xy与双曲线2221yxa（0a）的一个交点为,MF为抛物线的焦点，若5MF，则该双曲线的渐近线方程为（）A．530xyB．350xyC.450xyD．540xy6.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的,mn分别为495，135，则输出的m（）A．0B．5C.45D．907.ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2AOABAC，且OAAB，则向量CA在向量CB方向上的投影为（）A．12B．32C.12D．328.已知*,xyN且满足约束条件1225xyxyx，则xy的最小值为（）A．1B．4C.6D．79.定义运算：13aa24aa1423aaaa，将函数3()1fxsinxcoxx（0）的图象向左平移23个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A．14B．54C.74D．3410.设曲线2()1cosfxmx（mR）上任一点(,)xy处切线斜率为()gx，则函数2()yxgx的部分图象要以为（）11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（新工件的体积材料利用率原工件的体积）（）A．89B．169C.34(21)D．312(21)12.设函数22122,02()log,0xxxfxxx，若关于x的方程()fxa有四个不同的解1234,,,xxxx，且1234xxxx，则1224341xxxxx的取值范围是（）A．(3,)B．(,3)C.[3,3)D．(3,3]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知nS是等差数列{}na的前n项和，若54510Sa，则数列{}na的公差为．14.已知,,ABC三点都在体积为5003的球O的表面上，若43AB，060ACB，则球心O到平面ABC的距离为．15.已知曲线lnyxx在点(1,1)处的切线为l，若l与曲线2(2)1yaxax相切，则a．16.已知12,FF分别是椭圆22221xyab(0)ab的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P作12FPF的角平分线交x轴于点M，若2122PMPFPF，则该椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足cos(2)cos()bAcaB.（1）求角B的大小；（2）若4b，ABC的面积为3，求ABC的周长.18.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有2018442.①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求,ab的值：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b②在地理成绩及格的学生中，已知11a，7b，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.19.如图，在四棱锥PABCD中，122PCADCDAB，//ABDC，ADCD，PC平面ABCD.（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过,,CDM三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥ACMN的高.20.已知圆221:60Cxyx关于直线1:21lyx对称的圆为C.（1）求圆C的方程；（2）过点(1,0)作直线l与圆C交于,AB两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得在平行四边形OASB中OSOAOB？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()ln(1)fxxaxx.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1a时，证明：对任意的(0,)x，有2ln()(1)1xfxaxax.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为1cossinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系..（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin()224，曲线1C的极坐标方程为0，其中0满足0tan2，曲线1C与圆C的交点为,OP，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21fxx.（1）求不等式()12fxx的解集；（2）若函数()()(1)gxfxfx的最小值为a，且mna（0,0mn），求41mn的最小值.试卷答案一、选择题1-5:CABAB6-10:CDBD11、12：AD二、填空题13.214.315.816.22三、解答题17.（1）∵cos(2)cos()bAcaB，∴cos(2)(cos)bAcaB.由正弦定理可得，sincos(2sinsin)cosBACAB，即sin()2sincossinABCBC又角C为ABC内角，sin0C，∴1cos2B，又(0,)B，∴23B.（2）有1sin32ABCSacB，得4ac.又2222()16bacacacac∴25ac，所以ABC周长为425.18.解：（1）785，667，199.（2）①7930%100a，∴14a；10030(20184)(56)17b.②100(7205)(9186)431ab.因为11a，7b，所以,ab的搭配：(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，(24,7)，共有14种.设11a，7b时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，5ab.事件A包括：(11,20)，(12,19)，共2个基本事件；21()147PA，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为21147.19.（1）证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，2222ACADDC，22()22BCABCDAD，所以222ACBCAB，即ACBC.又PC平面ABCD，∴PCBC，又ACPCC，故BC平面PAC.（2）N为PB的中点，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以//MNAB，且122MNAB.又∵//ABCD，∴//MNCD，所以,,,MNCD四点共面，所以点N为过,,CDM三点的平面与线段PB交点.因为BC平面PAC，N为PB的中点，所以N到平面PAC的距离122dBC.又1112222ACMACPSSACPC，所以122233NACMV.由题意可知，在直角三角形PCA中，2223PAACPC，3CM，在直角三角形PCB中，2223PBBCPC，3CN，所以2CMNS.设三棱锥ACMN的高为h，12233NACMACMNVVh，解得2h故三棱锥ACMN的高为220.解：（1）圆1C化为标准为22(3)9xy.设圆1C的圆心1(3,0)C关于直线1:21lyx的对称点为(,)Cab，则111CCkk，且1CC的中点3(,)22abM在直线1:21lyx上，所以有213(3)102baba，解得12ab所以圆C的方程为22(1)(2)9xy.（2）由OSOAOBBA，所以四边形OASB为矩形，所以OAOB，是使OAOB，必须使0OAOB，即：12120xxyy.①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程1x，与圆22(1)(2)9Cxy交于两点(1,52)A，(1,52)B.因为(1)(1)(52)(52)0OAOB，所以OAOB，所以当直线l的斜率不存在时，直线:1lx满足条件.②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)ykx.设11(,)Axy，22(,)Bxy，由22(1)(2)9(1)xyykx，得2222(1)(242)440kxkkxkk由于点(1,0)在圆C内部，所以0恒成立.222221,22(242)(242)4(1)(44)2(1)kkkkkkkxk21222421kkxxk，2122441kkxxk要使OAOB，必须使0OAOB，即：12120xxyy，也就是：221224*4(1)(1)01kkkxxk整理得：222222244242(1)011kkkkkkkkk.解得：1k，所以直线l的方程为1yx.存在直线1x和1yx，它们与圆C交于,AB两点，且四边形OASB对角线相等.21.解：（1）由题知2'2(1)1()axxfxx（0x），当1a时，由'()0fx得22(1)10axx且98a，11984(1)axa，21984(1)axa①当1a时，()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；②当1a时，()fx在2(0,)x上单调递增，在2(,)x上单调递减；③当98a时，()fx在(0,)上单调递增；④当918a时，()fx在2(0,)x和1(,)x上单调递增，在21(,)xx上单调递减.（2）当1a时，要证2ln()(1)1xfxaxax