因式分解典型题目

典型题目一、判断是否是是分解因式把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。练习：1、下列从左到右是分解因式的是（）A.x(a－b)=ax－bxB.x－3=x(1-)C.x2－1=(x+1)(x－1)D.ax+bx+c=x(a+b)+cE.(x+3)(x－3)=(x－3)(x+3)F.6a2b=3ab×2aC2、下列分解因式中，正确的是（）A．3m2－6m=m(3m－6)B．a2b+ab+a=a(ab+b)C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2D．x2+y2=(x+y)2Cx3322236129xyyxyx562b3612xxab和二、找公因式找公因式的方法：1：系数为；2、字母是；3、字母的次数。各系数的最大公倍数相同字母相同字母的最低次数练习：①5x2－25x的公因式为；②－2ab2＋4a2b3的公因式为，③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是。例题：把下列各式分解因式①m2（a-2）+m（2-a）②(x-y)3-y(y-x)2ab(m-2)+b(2-m)(4)n(m-n)3-m(n-m)2三、（1）、提公因式法：（2）运用公式法：a2－b2＝（a＋b）（a－b）[平方差公式]1、有且只有两个平方项；2、两个平方项异号。能使用平方差公式分解因式的多项式的特点：例题：把下列各式分解因式①x2－4y2（3）运用公式法：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab+b2＝（a－b）2[完全平方式]能使用完全平方公式分解因式的多项式的特点：1、有两个平方项；2、两个平方项同号。3、含有交叉项的正负2倍。例题：把下列各式分解因式9x2-6x+1解：原式=(3x)2-2·(3x)·1+1=（3x-1)2习题：注意解题步骤！1、若4x2+（m-1）xy+25y2是完全平方式，求m的值。2、x2+x+a=（x+b）2，求a，b的值。习题1：把下列各式分解因式4（m+n）2-12（m+n）+9-a2+2a3-a44a2-12a（x-y）+9（x-y）2222164)4(xx四、利用分解因式进行计算：(1)（-2）2012+（-2）2013;(2);(3)1.22222×9-1.33332×4;4392981002计算：22221011411311211)4(五、利用完全平方式配方求值：(1)x2-6x+8y+y2+25=0，求2x-3y的值;(2)m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m、n;六、说理题：(1)不论a、b为何值，代数式a2b2-2ab+3一定为正值吗？(2)对于任意的自然数n，3n+2-2n+3+3n-2n+1一定是10的整数倍吗？说明理由。七、讨论：已知m、n为正整数，且m2=n2+45，求数对（m，n）八、应用：(1)把20cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm2，求这两段铁丝的长？(2)已知x+y=m，2x+3y=m-1若A=x（2x+3y）+y（2x+3y）-2x-3y，求A的最小值；若B=3（3x+2y）2-12x（3x+2y）+12x2，求B的值。⑶十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)11ab例题：把下列各式分解因式①X2-5x+6②a2-a-211-2-3111-2解：原式=（x-2)(x-3)解：原式=(a+1)(a-2)例2分解因式3x－10x＋32解：3x－10x＋3213－3－1－9x－x=－10x=(x－3)(3x－1)例3分解因式5x－17x－122解：5x－17x－12251＋3－4－20x＋3x=－17x=(5x＋3)(x－4)13－3－1223103yxyx)3)(3(yxyx原式二次齐次方程1.十字相乘法分解因式：(1)x2-5x-6;(2)a2b2-7ab+10(3)m3-m2-20m;(4)3a3b-6a2b-45ab;2.十字相乘法分解因式:(1)3x2+11x+10;(2)2x2-7x+3(3)6x2-7x-5;(4)5x2+6xy-8y2;(5)2x215x+7;(6)3a2-8a+4(7)5x2+7x-6;(8)6y2-11y+-103.已知多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1,求K的值.⑷分组分解法：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去1、分组后可以提公因式2、分组后可以运用公式(1)可按相同的系数或相同的系数比进行分组。如：2ax＋3ay＋3by＋2bx＝(2ax+2bx)+(3ay+3by)1、分组后能提取公因式2、分组后能运用公式，如：a2－2a－b2＋1＝（a2－2a＋1）－b2分解因式（xy+1）（x+1）（y+1）+xy例题：把下列各式分解因式①3x+x2-y2-3y②x2-2x-4y2+1解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)原式=x2-2x+1-4y2=(x-1)2-(2y)2=(x-1+2y)(x-1-2y)*4)分组分解：(1)分组后提取公因式；(2)分组后用公式。*分解因式:(1)20(x+y)+x+y;(2)2m-2n-4x(m-n);(3)ac+bc+2a+2b;(4)a2+ab-ac-bc;(5)xy-y2-yx+xz;(6)4x2+3z-3xz-4x.(7)x2-y2+ax+ay;(8)4a2-b2+6a-3b;(9)1-m2-n2+2mn;(10)9m2-6m+2n-n2.(11)4x2-4xy+y2-a2;(12)a2-b2+2bc-c2.*2.分解因式：(1)3ab-2a+6bc-4c(2)4m2-6m+3n-n2(3)x2-6x-y2+9(4)(ax-by)2-(bx-ay)2(5)2x2+x-1(6)3a2b2-4ab+13.(x-2)2+y2-2y+1=0,求xy的值.*3.已知x2+4y2+2x+4y+2=0,求x2-4y的值。5配方法：通过加减项配出完全平方式后，再把二次三项式分解因式的方法叫配方法。2232aaxx224aax222232aaaaxxaaxaax22axax32282yxyx练习①对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。②对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。一提二套三分四查③再考虑分组分解法④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要彻底。四种方法反复用，不能分解连乘式。4、叙述因式分解的一般步骤：因式分解的规律：1、首先考虑提取公因式法；2、两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公式。3、三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。4、多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分解。5、分解后得到的因式，次数高于二次的必须再考虑是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。