2.1矩阵与范数

第一章绪论1.4向量和矩阵的范数1.4.2矩阵的范数及其性质1.4.1向量的范数及其性质第一章绪论1.4向量和矩阵的范数学习目标：掌握向量范数、矩阵范数等概念。第一章绪论在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。§1.4向量和矩阵范数范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广.数域:数的集合,对加法和乘法封闭线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量空间有理数、实数、复数数域第一章绪论1.4.1向量范数(vectornorms)定义1.5如果向量的某个实值函数满足：（1）正定性：，且当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意x，y，都有则称为上的一个向量范数。xnRxxxf)(0x0xxxnRyxyxnR定义1如果向量的某个实值函数满足：（1）正定性：，且当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意x，y，都有则称为上的一个向量范数。xnRxxxf)(0x0xxxnRyxyxnR第一章绪论TnnnxxxxCR),,,(,)(21设中在向量空间的范数有常用的向量x21222212)xxx(xn范数或欧氏范数的2x1xnxxx21范数的1xxinix1max范数或最大范数的xpxppnppxxx121)(1,ppx范数的自己证容易验证，向量的∞范数和1范数满足定义1.5中的条件。对于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的Cauchy-Schwarz不等式可以验证。第一章绪论2x和1x显然时的特例和在是21ppxp并且由于ppnppxxx121)(inix1maxppinixn11)max(inipxn11max)(max1pxinix所以的特例也是px),(时pxxp12xxx且xxpplim定理1第一章绪论注意:一般有向量的等价关系)c,c;1,2,qp,q,(p2121Rxcxxcpqp例1求下列向量的各种常用范数(1,4,3,1)Tx解:1x421xxx92x21242221)(xxx3327xiix41max4即本例中显然,211xcxxc,1*4≤9≤9/4*4=9第一章绪论定义2如果矩阵的某个实值函数满足nnRAAAf)(（1）正定性：且当且仅当；0A0A0A（2）齐次性：对任意实数，都有；AA（3）三角不等式：对任意都有（4）相容性：对任意，都有nnRBA,BAABBABAnnRBA,则称为上的一个矩阵范数AnnR1.4.2矩阵的范数(matrixnorms)第一章绪论常用的矩阵范数1(1)Aniijnja11max,大值的每列绝对值之和的最A的列范数称AA(2)njijnia11max,大值的每行绝对值之和的最A的行范数称A2(3)A)(maxAAT大值的特征值的绝对值的最为其中AA)AA(TTmax范数的称2A第一章绪论例2nnijaAn)(阶方阵设21112ninjijFaA设不难验证其满足定义2的4个条件.是一种矩阵范数因此FA称为Frobenius范数,简称F-范数.类似向量的2-范数21112(4)ninjijFaA设称A的F-范数.第一章绪论定义3,和矩阵范数对于给定的向量范数都有若,,nnnRARxxAAx.相容和矩阵范数则称所给的向量范数222xAAx2112ninjijFaA2A)(maxAAT2xAFFA相容与因此2xAF第一章绪论110121021A例3求矩阵A的各种常用范数解:1Aniijnja11max2523425}2,5,2{max1njAnjijnia11max4}2,4,3{max1ni2A)(maxAAT由于第一章绪论的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程为)det(AAIT2111901020的特征值为可得AAT9361.0,9211.2,1428.93211428.9)(maxAAT第一章绪论2A)(maxAAT0237.3FA2926056.31AA2AFA容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感较少使用使用最广泛性质较好51A4A使用最广泛第一章绪论定义4称的特征值为设,,,,21nnnRA},,,max{)(21nA的谱半径为矩阵A,Ax和算子范数对于某种向量范数xAAxxAxx而因此xxA显然2A)(maxAAT)(AAT(spectralnorm)谱范数第一章绪论AAA)(任何一种算子范数的谱半径不超过矩阵的即矩阵A即所以定理1.,,nnnnRAR上的一种算子范数是设且非奇异则满足若,,1AIAAAAI11)(1证明:略第一章绪论例4设矩阵A与矩阵B是对称的，求证)()()(BABA证因为,于是有TAA22maxmax22)()()(AAAAAT即。同理。)(2AA)(2BB由于，所以TBABA)()()()(222BABABABA