数值分析第版第一章课件李庆扬著模板

1第1章数值分析与科学计算引论1.1数值分析的对象、作用与特点1.2数值计算的误差1.3误差定性分析与避免误差危害1.4数值计算中算法设计的技术1.5数学软件（略）2数值分析的定义：数值分析的主要内容：本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求解、特征值计算、常微分方程数值解等.数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.1.1数值分析研究对象与特点3数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程.虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.4三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.数值分析的特点：一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的有效算法.二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析.5四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.61.2数值计算的误差1.2.1误差来源与分类用计算机解决科学计算问题的过程如下：首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的.数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差.实际问题数学模型7以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.实际问题数学模型在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等等，这些参量显然也包含误差.这种由观测产生的误差称为观测误差.数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解.8近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.实际问题数学模型上机计算求出结果数值计算方法9例如，用泰勒(Taylor)多项式nnnxnfxfxffxP!)0(!2)0(!1)0()0()()(2,)!1()()()()(1)(nnnnxnfxPxfxR近似代替可微函数，)(xf则数值方法的截断误差是.0之间与在x有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.10产生的误差用近似代替，14159.3π就是舍入误差.此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响.14159.3πR例如，0000026.0分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题.这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论.11若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即1.2.2误差与有效数字设为准确值，x为的一个近似值，*xxxxe**通常准确值是未知的，x因此误差也是未知的.*e为近似值的绝对误差，定义1称简称误差.***xxe则叫做近似值的误差限，*它总是正数.12例如，用毫米刻度的米尺测量一长度，读出和该长度接近的刻度，x*x是的近似值，*xx它的误差限是，mm5.0于是mm.5.0*xx如读出的长度为，mm765则有.5.0765x虽然从这个不等式不能知道准确的是多少，但可知x,5.7655.764x结果说明在区间内.x]5.765,5.764[13对于一般情形，**xx即*,***xxx也可以表示为.**xx需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.14例如，有两个量，110x,51000y;1,10**xx则.5,1000**yy虽然比大4倍，*y*x但1000/5*/*yy%5.0比10/1*/*xx%10要小得多，这说明近似的程度比近似的程度好.*yy*xx所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值本身的大小.x15实际计算中，由于真值总是未知的，x*****xxxxeer把近似值的误差与准确值的比值*exxxxxe**称为近似值的相对误差，*x记作.*re作为的相对误差，*x条件是较小，***xeer通常取此时利用,**xxe知16相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，xxxxexexe*)*(****是的平方项级，*re记作，*r*)*(**)(2exxe*)/*(1*)/*(2xexe故可忽略不计..***xr即17%,10**xx%,5.0**yy上例中与的相对误差限分别为xy可见近似的程度比近似的程度好.*yy*xx根据定义，18当准确值位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到的前几位近似值，xx*x14159265.3πx取3位,14.3*3x取5位,1416.3*5x它们的误差都不超过末位数字的半个单位，,102114.3π2例如,002.0*3,000008.0*5即.10211416.3π419若近似值的误差限是某一位的半个单位，*x该位到的第一位非零数字共有位，就说有位有效数字.*xn*xn表示为),1010(10*)1(121nnmaaax（2.1）其中是0到9中的一个数字，为整数，),,1(niaima,01.1021*1nmxx（2.2）定义2且20如取作为的近似值，14.3*xπ取，π3.1416*x按这个定义，*x就有3位有效数字，*x就有5位有效数字.21按定义，187.93,0.037856,8.0000,2.7183.的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，000033.8x例1按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数：187.9325,0.03785551,8.000033,2.7182818.上述各数具有5位有效数字的近似数分别是因为8只有1位有效数字.注意：22如果以m/s2为单位，重力常数g，,m/s80.92g若以km/s2为单位，，它们都具有3位有效数字，2km/s00980.0g,102180.92g按(2.1)的表示方法，,3,0nm,102100980.05g这里.3,3nm它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字.例2因为按第一种写法按第二种写法),1010(10*)1(121nnmaaax（2.1）23至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同,m/s102122*1但相对误差都是80.9/005.0*r注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差与误差限是有量纲的.例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.,m/s102125*2.00980.0/00005.024从(2.2)可得到具有位有效数字的近似数，其绝对误差限为n*x,1021*1nm在相同的情况下，越大则越小，故有效位数越多，绝对误差限越小.mn110nm.1021*1nmxx（2.2）25若的相对误差限，*x)1(1*10)1(21nra设近似数表示为*x)1.2(),1010(10*)1(121llmaaax其中是0到9中的一个数字，),,1(liai;1021)1(1*nra反之，则至少具有位有效数字.*xn若具有位有效数字，n*x定理1ma,01为整数.则其相对误差限为26由(2.1)′可得,10)1(1ma当有位有效数字时*xn***xxxr反之，由***rxxx,105.01nm证明*101xammnma10105.011;102111na11110)1(2110)1(nmaa)1.2(),1010(10*)1(121llmaaax27知至少有位有效数字.*xn定理说明，有效位数越多，相对误差限越小.28由于,4.420知，41a故只要取，4n3*10125.0r即只要对的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%.20此时由开方表得.472.420设取位有效数字，n.1021)1(1*nra例3要使的近似值的相对误差限小于0.1%，需取20几位有效数字?由定理1就有%,1.0103291.2.3数值运算的误差估计两个近似数与，其误差限分别为及，*1x*2x)(*1x)(*2x);()()(*2*1*2*1xxxx);()()(*1*2*2*1*2*1xxxxxx).0()()()/(*22*2*1*2*2*1*2*1xxxxxxxx它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为30设是一元函数，的近似值为，以近似，其误差界记作，)(xfx*x*)(xf)(xf*))((xf一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差，，之间介于*,,*)(2)(*)*)((*)()(2xxxxfxxxfxfxf取绝对值得*).(2)(*)(*)(*)()(2xfxxfxfxf其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计.利用泰勒展开31*).(*)(*))((xxfxf假定与的比值不太大，可忽略*)(xf*)(xf*)(x的高阶项，于是可得计算函数的误差限32当为多元函数，如计算时.f),(1nxxfA的近似值为，nxx,,1**1,,nxx则的近似值为A),,(***1nxxfA于是由泰勒展开，函数值的误差为*A*)(Ae如果AAAe**)(nkkkknxxxxxf1***1)(),,(,1**nkkkexf),,(),,(1**1nnxxfxxf33于是误差限;)(*)(1**nkkkxxfA（2.3）而的相对误差限为*A*)(*Arr.*)(1**nkkkAxxf（2.4）**)(AA34已测得某场地长的值为，lm110*l宽的值d为，m80*d已知.m1.0*,m2.0*ddll试求面积的绝对误差限与相对误差限.lds因,,,ldsdlslds),()(*)(****ddsllss;)(*)(1**nkkkxxfA知例4解由35其中,m80**dls而,m2.0*)(l于是绝对误差限);m(27)1.0(110)2.0(80*)(2s相对误差限**)(*)(sssrm,110**lds,m1.0*)(d***)(dls%.31.0880027361.3误差定性分析与避免误差危害一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也不科学.因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守的误差估计不反映实际误差积累.37考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，20世纪60年代以后对舍入误差分析提出了一些新方法，较重要的有威尔金森(Wilkinson)的向后误差分析法和穆尔(Moore)的区间分析法两种.然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际