平行线几个压轴题有答案

练习11.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．(1)按照小明的思路，求∠APC的度数；(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P不在B，D两点之间运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．(1)过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180∘，∠C+∠CPE=180∘，∵∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，∴∠APE=50∘，∠CPE=60∘，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110∘．(2)∠APC=∠α+∠β．理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β．(3)如图3所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α−∠β；如图4所示，当P在DB延长线上时，∠CPA=∠β−∠α．24.问题情境：如图1，AB∥CD，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．小明的思路：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD=°．问题迁移：AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P与点E，F不重合)运动．(1)当点P在线段EF上运动时，如图3，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系，并说明理由；(2)当点P不在线段EF上运动时，(1)中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．解：过点P作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠ABP+∠BPE=180°，∠DPE+∠CDP=180°，∴∠ABP+∠BPE+∠DPE+∠CDP=360°，∵∠BPD=∠BPE+∠DPE，∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，故答案为：360；(1)∠ABP+∠CDP=∠BPD；证明：如图1，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；(2)不成立，关系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-∠B=∠BPD，理由：如图2，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠BPD，即∠BPQ=∠B-∠D．如图3，同理∠D-∠B=∠BPD25.如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．(1)当点P移动到AB、CD之间时，如图(1)，这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；(2)当点P移动到图(2)、图(3)的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．解：(1)∠APC=∠A+∠C．证明：如图1，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C．(2)如图2，∠APC+∠A+∠C=360°，理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PE，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∴∠APC+∠A+∠C=360°；如图3，∠APC=∠C-∠A．理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠C=∠CPE，∠A=∠APE，∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠C-∠A．26.如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．①如图(2)所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由；②如图(3)所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠E，∠D又有何关系并说明理由；③如图(4)所示，已知AB∥CD．请问∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系并说明理由．解：如图所示：①过E作EM∥AB，∵AB∥CD，则EM∥CD，故EM∥AB∥CD，∴∠MEB=∠B，∠MED=∠D，∴∠B+∠D=∠E；②过E作EM∥AB，根据平行线的传递性，则EM∥CD故EM∥AB∥CD，∴∠MEB+∠B=180°，∠MED+∠D=180°，∴∠B+∠E+∠D=360°；③分别过E，F，G作AB的平行线，则∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D，即，∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．27.已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点(1)如图①，若动点P在线段CD之间运动(不与C、D两点重合)，问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由；(2)如图②，当动点P在线段CD之外且在的上方运动(不与C、D两点重合)，则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由；(3)请画出动点P在线段CD之外且在直线的下方运动(不与C、D两点重合)时的图形，并仿照图①、图②标出∠1，∠2，∠3，此时∠1，∠2，∠3之间有何等量关系，请直接写出结论，不必说明理由．解：(1)∠3+∠1=∠2成立，理由如下：过点P作PE∥l1，如图①，∴∠1=∠APE，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3=∠BPE，∵∠BPE+∠APE=∠2，∴∠3+∠1=∠2；(3)∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2理由为：过点P作PE∥l1，如图②∴∠1=∠APE，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3=∠BPE，∵∠BPE-∠APE=∠2，∴∠3-∠1=∠2．(3)如图③所示，∠1-∠2=∠3．