高考100题平面向量：专题一-平面向量的线性运算

I．题源探究·黄金母题【例1】如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，,EF分别是,ADBC的中点，,MN是线段EF上的两个点，且EMMNNF，下底是上底的2倍，若ABa，BCb，求AM．【解析】1122ADABBCCDabaab，∴111242AEADab．又1113()()2224EFABDCaaa，∴1134EMEFa，所以1111()()4242AMAEEMabaabII．考场精彩·真题回放【例2】【2015全国新课标Ⅰ卷】设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则（）A．1433ADABACB．1433ADABACC．4133ADABACD．4133ADABAC【答案】A【解析】由题知13ADACCDACBC＝1()3ACACAB＝1433ABAC，故选A．【例3】【（2015北京高考卷】在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x______；y_______．【答案】11,26【例4】【2014全国新课标Ⅰ卷】设,,DEF分别为ABC的三边,,BCCAAB的中点，则EBFC（）A．ADB.．12ADC．12BCD．BC【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF中，12EBEFFBEFAB，同理12FCFEECFEAC，则EBFC＝11()()22EFABFEAC＝11()22ABAC＝1()2ABACAD．【例5】【2013高考广东卷】设a是已知的平面向量且0a,关于向量a的分解,有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c,使abc；②给定向量b和c,总存在实数和,使abc；③给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc；④给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc．上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①是对的；利用平面向量的基本定理，易知②是对的；以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须bca，所以④是假命题.综上，选B．【例6】【2013江苏高考卷】设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点,ABAD21,BCBE32,若ACABDE21(21，为实数),则21的值为__________．【答案】12精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题．【母题评析】本题中,ab实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中．【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决．（2）注意题目中中点与平行的应用．【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的．III．理论基础·解题原理考点一平面向量的加减法及几何意义1．加法法则及几何意义①三角形法则：已知向量,ab，在平面上任取一点A，作ABa，BCb，则ACab叫做a和b的和．②平行四边形法则：已知向量,ab，在平面上任取一点A，作ABa，ADb，以,ABAD为邻边作平行四边形ABCD，则ACab为向量a和b的和．③多个向量和的多边形法则：已知向量12,,,naaa，在平面上任取一点A，作11AAa，122AAa，…，1nnnAAa，则12nnAAaaa为向量12,,,naaa的和．2．减法法则及几何意义三角形法则：已知向量,ab，在平面上任取一点O，作OAa，OBb，则BAab．考点二向量的数乘运算及几何意义实数与向量a的乘积a是一个向量，且||||||aa．当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反．特别地，向量a（0a）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．考点三向量共线定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且0b，则一定存在唯一一个实数使ab．考点四平面向量的基本定理平面向量基本定理：如果22,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量a有且只有一对实数12、，使1122aee，其中22,ee是一组基底．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．【技能方法】（1）将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）结合平面向量的基本定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决．【易错指导】（1）运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量的方向是指向被减数的；（2）向量的数乘运算注意实数的符号，即必须注意数乘向量的方向；（3）利用平面向量的基本定理解决相关问题，基底的选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题的成功与失败，因此必须重视基底的选择．V．举一反三·触类旁通考向1三角形法则与平行四边形法则的应用【例7】【2016届湖南省四大名校高三3月联考】在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点,OE是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若,ACaBDb，则AF（）A．1142abB．1124abC．2133abD．1223ab【答案】C【解析】由向量的平行四边形法则可得bABADaADAB，解得1()21()2ABabADab.又因为3:1:EBDE，所以3:1:ABDF，即11()36DFABab，所以DFADAF2133ab，故选C．【方法总结】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，解题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．【跟踪训练】如图，在直角梯形ABCD中，22ABADDC，E为BC边上的一点，3BCEC，F为AE中点，则BF()A．2133ABADB．1233ABADC．2133ABADD．1233ABAD【答案】C考向2平面向量基本定理的应用【例8】【2016学年辽宁沈阳二中高二6月月考】在平行四边形ABCD中11,34AEABAFAD，CE与BF相交于G点，若,ABaADb，则AG（）A．2177abB．2377abC．3177abD．4277ab【答案】C【解析】因为,,BGF三点共线，所以可设(1)AGxABxAF，即14xAGxab，同理可设(1)AGyAEyAC，即2(1)()(1)(1)33yAGayabyayb，所以12(1)(1)43xxabyayb，即213114xyxy，解得37x，所以3177AGab，故选C．【名师点睛】平面向量的基本定理描述了一个向量在基底的分解上是唯一的，就是这个唯一性为利用待定系数法求相关的参数提供了理论依据．待定系数法与平面向量基本定理结合在一起解题，通常是要通过建立方程（组）来解决．【跟踪训练】在平行四边形ABCD中,E为BC的中点，F为DC的中点，若ACAEBF,则的值为___________．【答案】85考向3共线定理的应用【例9】【2016山东滨州市二模】在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足13ANNM，若(,)ANABACR，则的值为（）A．14B．13C．1D．4【答案】A【解析】因为1134ANNMANAM，又因为(,)ANABACR，所以44AMABAC，由于三点,,BMC共线，所以441，从而的值为41，故选A．【例10】【2016河南洛阳市一中高三下二模】在ABC中，1,3ANNCP是BN上的点，若29APmABAC，则实数m的值为___________.【答案】19【解析】因为13ANNC，所以14ANAC，即4ACAN，所以2899APmABACmABAN．又因为,,PBN三点共线，所以819m，所以19m．【方法归纳】共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即b与(0)aa共线存在唯一，使ba，将其延伸后可得到三点共线的条件：在平面中,,ABC三点共线的充要条件是OAxOByOC（O为平面内任意一点），其中1xy．【跟踪训练】已知ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边,ABAC于,PQ两点，设,APmABAQnAC，则49mn的最小值是________．【答案】253考向4平面向量线性运算与不等式交汇【例11】（2016年浙江杭州市五校联盟一诊）在矩形ABCD中，5AB，3BC，P为矩形内一点，且52A