(中文翻译)pricing-and-newsvendor-problem-a-review-with

经典文献教学讲稿昆明理工大学管理与经济学院经有国博士/副教授版权所有，仅供学习使用2018年5月11日-5月28日1/14PetruzziNC,DadaM.Pricingandthenewsvendorproblem:areviewwithextensions[J].OperationsResearch,1999,47(2):183-194.定价与报童问题：述评与扩展尼古拉斯C.彼得鲁齐，马克博尔.嗒嗒伊利诺伊大学，香槟市，伊利诺伊60208；普渡大学，西拉法叶,印第安那94305摘要：报童问题研究的是，未来一个销售季节（该销售季节的需求是随机的）的易逝品存货决策。报童模型的最优解简洁而明了，该模型是随机库存理论的一大基石，许多有关运营管理（效率）的文献集中于该理论的研究。通常在这些文献中，市场参数如需求和销售价格都是外生的。然而，将这些因素纳入模型可以帮助我们更好地分析运营和营销是如何交互作用以影响企业层面的决策。在本文中，我们对传统报童问题进行了扩展性分析，即同时研究存货和定价问题。我们首先对单周期报童问题的研究现状进行综述，在此基础上发展现有的研究结论，拓宽现有的理论基础。此外，我们还回顾和发展动态库存和定价理论，最后阐述了上述模型的实用性问题。人们研究报童问题的历史比较悠久，可以追溯到1888年经济学家埃奇沃思研究的银行现金流问题。然而，与很多其它OR/MS模型一样，在二战之后的50年代，才开始引起人们的足够重视，并对之进行了广泛研究。报童问题的核心内容是：一个决策者在面临随机需求时该如何决定存货数量以最大化自身利润，这些存货是易逝品，销售季节未能销售出去的存货将会因过时而变得不值钱。报童问题的最优解取决于平衡缺货成本和存货过剩成本。报童问题的最优解简洁而明了，它是随机库存理论的一大基石。Porteus（1990）对随机库存理论作了很好的综述。现有文献主要关注运营效率和最小化期望成本，把需求或市场参数看成是外生的。Whitin（1955）最先在报童模型的基础上考虑价格效应，研究了定价和存货的同时决策问题。该研究假设销售价格是内生的，市场随机需求依赖于销售价格；并提出了一个顺序求解过程：先确定最优存货量关于价格的函数，然后确定相应的最优价格。在此基础上，Mills（1959,1962）研究了平均需求是关于销售价格的函数时的定价和存货决策问题。已有研究报童问题的文献往往假定销售价格是外生变量，然而把销售价格作为内生变量对企业而言更具战略意义，遗憾的是，自20世纪50年代以来极少有文献对此进行研究。之所以出现这种情况，可能是因为过去运营部门偏重于内部效率而忽视了跨部门的协同效应。我们相信简单而巧妙的报童问题有助于分析运营和营销问题是如何交互作用以影响企业层面的决策。随着基于时间竞争的日益盛行，做这样分析的重要性日益突出（StalkandHout1990）。因为基于时间竞争使产品生命周期不断缩短，从而使越来越多产品具有了时尚性和经典文献教学讲稿昆明理工大学管理与经济学院经有国博士/副教授版权所有，仅供学习使用2018年5月11日-5月28日2/14季节性。因此，第1节在报童问题的基础上分析单周期的定价与存货联合决策问题，对报童问题的发展历史进行回顾，总结已有的研究结论，并使之更具一般性；紧接着，针对两种不同的需求建模问题，提出一个统一性的解释框架。第2节回顾并提出关于动态库存与定价问题的新见解。最后，我们讨论前面两节所分析模型的应用性问题。1单周期决策问题本节考虑一个基于报童问题的单周期定价和存货联合决策问题，假设随机需求依赖于价格，依赖的方式包括：加法模式和乘法模式。具体而言，加法模式的需求函数为𝐷(𝑝,𝜖)=𝑦(𝑝)+𝜖（Mills1959）；乘法模式的需求函数为𝐷(𝑝,𝜖)=𝑦(𝑝)𝜖（KarlinandCarr1962）。其中，𝑦(𝑝)是一个关于价格𝑝的递减函数；𝜖是一个定义在区间[𝐴,𝐵]上的随机变量（期望和标准差分别为𝜇和𝜎）。根据相关惯例，在加法模式时，设𝑦(𝑝)=𝑎−𝑏𝑝（𝑎0，𝑏0）；在乘法模式时，设𝑦(𝑝)=𝑎𝑝−𝑏（𝑎0，𝑏1）。在经济学中，这两种𝑦(𝑝)的表示形式都很常见，前者表示线性需求曲线，后者表示等弹性需求曲线。对上述需求模型的一种解释是，需求曲线的形状是确定的，然而表示市场规模的尺度参数是随机的。设存货的单位成本为𝑐，为了确保在𝑝在某个区间取值时，需求是非负的，现假设在加法模式时𝐴−𝑎；类似的，假设在乘法模式时𝐴0。从实践的角度而言，如果𝑎比𝜖的方差大很多，对于无取值区间约束的分布函数（如正态分布）可以采取类似的近似分析。为了进行一般性分析，现假设𝜖的分布函数和密度函数分别为𝐹(∙)和𝑓(∙)，其期望值和标准差分别为𝜇和𝜎。1.1加法需求情形在加法模式下，需求函数为𝐷(𝑝,𝜖)=𝑦(𝑝)+𝜖，其中𝑦(𝑝)=𝑎−𝑏𝑝；假设存货数量为𝑞，那么总的存货成本为𝑐𝑞。如果需求不大于𝑞，此时的收益为𝑝𝐷(𝑝,𝜖)，剩余的存货𝑞−𝐷(𝑝,𝜖)将产生单位处理成本为ℎ（ℎ可以为负数，表示剩余存货的单位残值，ℎ≥−𝑐）；如果需求大于𝑞，此时的收益为𝑝𝑞，缺货量为𝐷(𝑝,𝜖)−𝑞，单位缺货成本为𝑠。利润Π(𝑞,𝑝)等于收益减去各项成本之和：Π(𝑞,𝑝)={𝑝𝐷(𝑝,𝜖)−𝑐𝑞−ℎ[𝑞−𝐷(𝑝,𝜖)],𝐷(𝑝,𝜖)≤𝑞𝑝𝑞−𝑐𝑞−𝑠[𝐷(𝑝,𝜖)−𝑞],𝐷(𝑝,𝜖)𝑞为了方便下文分析，参考文献Ernst（1970）和Thowsen（1975），作如下定义：𝑧=𝑞−𝑦(𝑝)，将该式子代入Π(𝑞,𝑝)可得：Π(𝑧,𝑝)={𝑝[𝑦(𝑝)+𝜖]−𝑐[𝑦(𝑝)+𝑧]−ℎ[𝑧−𝜖],𝜖≤𝑧𝑝[𝑦(𝑝)+𝑧]−𝑐[𝑦(𝑝)+𝑧]−𝑠[𝜖−𝑧],𝜖𝑧通过求Π(𝑧,𝑝)的最优解(𝑧∗,𝑝∗)，最优存货𝑞∗=𝑦(𝑝∗)+𝑧∗。期望利润为：经典文献教学讲稿昆明理工大学管理与经济学院经有国博士/副教授版权所有，仅供学习使用2018年5月11日-5月28日3/14𝐸[Π(𝑧,𝑝)]=∫{𝑝[𝑦(𝑝)+𝑢]−ℎ[𝑧−𝑢]}𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑧𝐴+∫{𝑝[𝑦(𝑝)+𝑧]−𝑠[𝑢−𝑧]}𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝐵𝑧−𝑐[𝑦(𝑝)+𝑧]定义：Λ(𝑧)=∫(𝑧−𝑢)𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑧𝐴，Θ(𝑧)=∫(𝑢−𝑧)𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝐵𝑧，那么有：𝐸[Π(𝑧,𝑝)]=Ψ(𝑝)−𝐿(𝑧,𝑝)（1）其中：Ψ(𝑝)≡(𝑝−𝑐)[𝑦(𝑝)+𝜇]（2）𝐿(𝑧,𝑝)≡(𝑐+ℎ)Λ(𝑧)+(𝑝−𝑐+s)Θ(𝑧)（3）式（2）表示无风险时（即需求为确定值𝜇）的利润函数（Mills1959），式（3）表示有风险时（即需求存在不确定性）损失函数（SilverandPeterson1985）。决策的目标就是最大化期望利润：max𝑧,𝑝𝐸[Π(𝑧,𝑝)]（4）求𝐸[Π(𝑧,𝑝)]分别关于𝑧和𝑝的一阶偏导和二阶偏导可得：𝜕𝐸[Π(𝑧,𝑝)]𝜕𝑧=−(𝑐+ℎ)+(𝑝+𝑠+ℎ)(1−𝐹(𝑧))（5）𝜕2𝐸[Π(𝑧,𝑝)]𝜕𝑧2=−(𝑝+𝑠+ℎ)𝑓(𝑧)（6）𝜕𝐸[Π(𝑧,𝑝)]𝜕𝑝=2𝑏(𝑝0−𝑝)−Θ(𝑧)（7）其中𝑝0表示最优的无风险定价，即通过最大化Ψ(𝑝)求得：𝑝0=𝑎+𝑏𝑐+𝜇2𝑏𝜕2𝐸[Π(𝑧,𝑝)]𝜕𝑝2=−2𝑏（8）根据式（6）可知，给定𝑝时，𝐸[Π(𝑧,𝑝)]是关于𝑧的凹函数。因此，我们可以通过求得最优解𝑧(𝑝)，然后代入式（4），此时目标函数就只剩下决策变量𝑝。Whitin（1955）应用了上述方法，得出了我们所熟知的分位数解：1−𝐹(𝑧∗)=(𝑐+ℎ)/(𝑝+𝑠+ℎ)。类似的，根据式（8）可知，给定𝑧时，𝐸[Π(𝑧,𝑝)]是关于𝑝的凹函数。因此，我们可以通过求得最优解𝑝(𝑧)，然后代入式（4），此时目标函数就只剩下决策变量𝑧。然后，我们在𝑝（或𝑧）的取值区间内搜索𝐸[Π(𝑧(𝑝),𝑝)]（或𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]）的最大值。上面两种不同的求解方式最终会得出同样的结果，这里仅分析后一种求解方式。下面的引理直接根据式（7）和式（8）得到：引理1：对于一个给定的𝑧，最优定价是关于𝑧的函数：经典文献教学讲稿昆明理工大学管理与经济学院经有国博士/副教授版权所有，仅供学习使用2018年5月11日-5月28日4/14𝑝(𝑧)=𝑝0−Θ(𝑧)2𝑏由于Θ(𝑧)是非负的，因此有𝑝(𝑧)≤𝑝0，进而有𝑝∗≤𝑝0。这一关系最先是由Mills（1959）提出的。通过求解目标利润函数𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]的最大值，可以求得最优解𝑧∗及𝑝∗=𝑝(𝑧∗)。然而，下面的定理1表明，𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]可能存在多个点满足一阶条件：定理1：在加法需求情形下，单周期的最优存货和定价策略是：以价格𝑝∗销售数量为𝑞∗=𝑦(𝑝∗)+𝑧∗的存货。其中𝑧∗可以通过以下方式确定：（a）若𝐹(∙)是任意分布函数，则采用穷举搜索算法搜索𝑧的取值区间[𝐴,𝐵]，从而确定最优的𝑧∗。（b）若分布𝐹(∙)满足条件：2𝑟(𝑧)2+𝑑𝑟(𝑧)/𝑑𝑧0（𝑧∈[𝐴,𝐵]），其中𝑟(𝑧)≡𝑓(𝑧)/[1−𝐹(𝑧)]（即失败率），则𝑧∗=max{𝑧|𝑑𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]/𝑑𝑧=0,𝑧∈[𝐴,𝐵]}。（c）若满足（b）中的条件，且满足𝑎−𝑏(𝑐−2𝑠)+𝐴0，那么𝑑𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]/𝑑𝑧=0具有唯一解𝑧∗∈[𝐴,𝐵]。证明：（b）根据链式法则和引理1，可得：𝑑𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]𝑑𝑧=−(𝑐+ℎ)+[𝑝0+𝑠+ℎ−Θ(𝑧)2𝑏][1−𝐹(𝑧)]令𝑅(𝑧)≡𝑑𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]/𝑑𝑧，对其求一阶导可得：𝑑𝑅(𝑧)𝑑𝑧=𝑑𝑑𝑧[𝑑𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]𝑑𝑧]=−𝑓(𝑧)2𝑏{2𝑏(𝑝0+𝑠+ℎ)−Θ(𝑧)−1−𝐹(𝑧)𝑟(𝑧)}对𝑅(𝑧)求二阶导可得：𝑑2𝑅(𝑧)𝑑𝑧2=[𝑑𝑅(𝑧)/𝑑𝑧𝑓(𝑧)]𝑑𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝑓(𝑧)2𝑏{[1−𝐹(𝑧)]+𝑓(𝑧)𝑟(𝑧)+[1−𝐹(𝑧)][𝑑𝑟(𝑧)/𝑑𝑧]𝑟(𝑧)2}当𝑑𝑅(𝑧)/𝑑𝑧=0时，有：𝑑2𝑅(𝑧)𝑑𝑧2|𝑑𝑅(𝑧)/𝑑𝑧=0=−𝑓(𝑧)[1−𝐹(𝑧)]2𝑏𝑟(𝑧)2[2𝑟(𝑧)2+𝑑𝑟(𝑧)𝑑𝑧]若分布𝐹(∙)满足条件：2𝑟(𝑧)2+𝑑𝑟(𝑧)/𝑑𝑧0（𝑧∈[𝐴,𝐵]），则𝑅(𝑧)要么是单调的，要么是单峰的，这意味着：方程𝑅(𝑧)=0最多存在两个根。由于𝑅(𝐵)=−(𝑐+ℎ)0，如果𝑅(𝑧)=0只有一个根，则说明𝑅(𝐴)0，这个根是𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]的局部最大值解；如果𝑅(𝑧)=0有两个根，则其中较大的根对应于𝐸[Π(𝑧,𝑝(𝑧))]的局部最大值解，而较小的根对应于局部最小值解。（c）若2𝑟(𝑧)2+𝑑𝑟(𝑧)/𝑑𝑧0（𝑧∈[𝐴,𝐵]），那么使得方程𝑅(𝑧)=0只有一个根的充分经典文献教学讲稿昆明理工大学管理与经济学院经有国博士/副教授版权所有，仅供学习使用