2011届高三一轮测试(理)3数列(2)(通用版)

数列—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设数列{an}的通项公式an＝f(n)是一个函数，则它的定义域是()A．非负整数B．N*的子集C．N*D．N*或{1,2,3，…，n}2．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y－6＝0上，则a3－a5＋a7的值为()A．27B．6C．81D．93．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a2a1等于()A．1B．2C．3D．44．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n(n－1)，则该数列是()A．公比为2的等比数列B．公比为12的等比数列C．公差为2的等差数列D．公差为4的等差数列5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟6．数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，则“c＝1”是“数列{an}为等比数列”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝()A．2B．4C．6D．88．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1＋an1－an，则a2010＝()A．－2B．－13C．－12D．39．在函数y＝f(x)的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2x＋1B．f(x)＝4x2C．f(x)＝log3xD．f(x)＝34x10．若数列{an}的通项公式为an＝1＋22n－7(n∈N*)，{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y的值为()A．5B．6C．7D．811．在等差数列{an}中，a11a10＜－1，若它的前n项和Sn有最大值，则下列各数中是Sn的最小正数的是()A．S17B．S18C．S19D．S2012．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于()A．126B．130C．132D．134第Ⅱ卷(非选择题共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.14．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.15．若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知数列{1xn}为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x3x18的最大值是________．16．已知Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④S13＞0中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}中，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.18．(本小题满分12分)已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn＝18(aa＋2)2.(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．19.(本小题满分12分)某市2008年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市流感病毒新感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30日内该病毒新感染者共有8670人，问11月几日，该市新感染此病毒的人数最多？并求这一天的新感染人数．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn}，其中An(n，an)、Bn(n，bn)、Cn(n－1,0)满足：向量AnAn＋1与共线，且点列{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上，a1＝a，b1＝－a.(1)试用a与n表示an(n≥2)；(2)若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围．21.(本小题满分12分)已知数列{an}，a1＝1，an＝λan－1＋λ－2(n≥2)．(1)当λ为何值时，数列{an}可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；(2)若λ＝3，令bn＝an＋12，求数列{bn}的前n项和Sn.22．(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，试求m的取值范围．答案：一、选择题1．D2．A由题意得an－an－1－6＝0，即an－an－1＝6，得数列{an}是等差数列，且首项a1＝3，公差d＝6，而a3－a5＋a7＝a7－2d＝a5＝a1＋4d＝3＋4×6＝27.3．C由S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．∵d≠0，∴d＝2a1.∴a2a1＝a1＋da1＝3a1a1＝3.4．D由条件可得n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n(n－1)－2(n－1)(n－2)＝4(n－1)，当n＝1时，a1＝S1＝0，代入适合，故an＝4(n－1)，故数列{an}表示公差为4的等差数列．5．C设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋nn－1d2＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15，故选C.6．C数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，且c＝1，则an＝2×3n－1(n≥1)，从而可知c＝1是数列{an}为等比数列的充要条件，故选C项．7．B因为ak是a1与a2k的等比中项，则a2k＝a1a2k，[9d＋(k－1)d]2＝9d·[9d＋(2k－1)d]，又d≠0，则k2－2k－8＝0，k＝4或k＝－2(舍去)．8．B由条件可得：a1＝－2，a2＝－13，a3＝12，a4＝3，a5＝－2，…，即{an}是以4为周期的周期数列，所以a2010＝a2＝－13，故选B.9．D结合选项，对于函数f(x)＝34x上的点列{xn，yn}，有yn＝34xn.由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此yn＋1yn＝34xn＋134xn＝34xn＋1－xn＝34d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．10．C由函数f(n)＝1＋22n－7(n∈N*)的单调性知，a1＞a2＞a3，且a4＞a5＞a6＞…＞0，又a1＝35，a2＝13，a3＝－1，a4＝3，故a3为最小项，a4为最大项，x＋y的值为7.11．C∵等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，∴a1＞0，且d＜0，由a11a10＜－1得a10＞0，a11＜－a10，即a10＋a11＜0，∴S20＝10(a1＋a20)＜0，S19＝19a10＞0，又由题意知当n≥11时，an＜0，∴n≥11时，Sn递减，故S19是最小的正数．12．C由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6.即q＝10－2，∴a1＝1022.又∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且d＝－2，b1＝22.故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴Sn＝22n＋nn－12×(－2)＝－n2＋23n＝－n－2322＋5294.又∵n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.二、填空题13．【解析】设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1，∴S6＝1－q61－q＝41－q31－q.∴q3＝3.∴a1q3＝3.【答案】314．【解析】|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153.【答案】15315．【解析】因为数列{1xn}为“调和数列”，所以xn＋1－xn＝d(n∈N*，d为常数)，即数列{xn}为等差数列，由x1＋x2＋…＋x20＝200得20x1＋x202＝20x3＋x182＝200，即x3＋x18＝20，易知x3、x18都为正数时，x3x18取得最大值，所以x3x18≤(x3＋x182)2＝100，即x3x18的最大值为100.【答案】10016．【解析】解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件S6＞S7⇒S6＞S6＋a7⇒a7＜0S7＞S5⇒S5＋a6＋a7＞S5⇒a6＋a7＞0，S6＞S5⇒S5＋a6＞S5⇒a6＞0即a6＞0，a7＜0，a6＋a7＞0，因此d＜0，①正确；S11＝11a6＞0②正确；S12＝12a1＋a122＝12a6＋a72＞0，故③错误；S13＝12a1＋a132＝12a7＜0，故④错误，故真命题的序号是①②.【答案】①②三、解答题17．【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题意得a＋d＝9a1＋4d＝21，解得a1＝5，d＝4，∴{an}的通项公式为an＝4n＋1.(2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，∴{bn}是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．∴Sn＝2524n－124－1＝32×24n－115.18．【解析】(1)证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝18(an＋1＋2)2－18(an＋2)2，∴8an＋1＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，∴(an＋1－2)2－(an＋2)2＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.∵an∈N*，∴an＋1＋an≠0，∴an＋1－an－4＝0.即an＋1－an＝4，∴数列{an}是等差数列．(2)由(1)知a1＝S1＝18(a1＋2)，解得a1＝2.∴an＝4n－2，bn＝12an－30＝2n－31，由2n－31≤02n＋1－31≥0得292≤n＜312.∵n∈N*，∴n＝15，∴{an}前15项为负值，以后各项均为正值．∴S5最小．又b1＝－29，∴S15＝15－29＋2×15－312＝－22519．【解析】设第n天新感染人数最多，则从第n＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列，其前n项和Sn＝20n＋nn－12×50＝25n2－5n(1≤n＜30，n∈N)，而后30－n天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20＋(n－1)×50－30＝50n－60，公差为－30，项数为30－n的等差数列，其前30－n项的和T30－n＝(30－n)(50n－60)＋30－n29－n2×(－30)＝－65n2＋2445n－14850，依题设构建方程有，Sn＋T30－n＝8670，∴25n2－5n＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670，化简得n2－61n＋588＝0，∴n＝12或n＝49(舍去)，第12天的新感染人数为20＋(12