2011年高考一轮课时训练(理)6.6数列的综合应用 (通用版)

第六节数列的综合应用题号12345答案一、选择题1．(2010年夏门模拟)在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a7＝5，S7＝21，那么S10等于()A．55B．40C．35D．702．(2010年湖北八校联考)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2009，S20072007－S20052005＝2，则S2009的值为()A．－2006B．2006C．－2009D．20093．若x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a＋b的值为()A.38B.1124C.1324D.31724．若数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12；2an－1，12≤an1.若a1＝67，则a20的值为()A.67B.57C.37D.175．(2010年昆明模拟)已知等比数列{}an的公比为q0，前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是()A．S4a5＝S5a4B．S4a5S5a4C．S4a5S5a4D．以上都不正确二、填空题6．(2010年江西师大附中)设等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋a，等差数列{bn}的前n项和Tn＝n2－2n＋b，则a＋b＝________.7．(2010年烟台质检)已知实数数列{an}中，a1＝1，a6＝32，an＋2＝a2n＋1an，把数列{an}的各项排成如下图的三角形形状．记A(m，n)为第m行从左起第n个数，则A(12,5)＝______.a1a2a3a4a5a6a7a8a9………(2)(理)若A(m，n)·A(n，m)＝250，则m＋n＝________.8．(2010年南通调研)如下图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中Oa1＝a1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记Oa1，OA2，…，Oan，…的长度构成数列{}an，则此数列的通项公式为an＝________.三、解答题9．(2010年安徽卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝a2n·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1＜cn.10．(2009年天津卷)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．参考答案1．解析：∵S7＝21，∴a1＋a72×7＝21，即a1＋5＝6，∴a1＝1又a7＝5，∴公差d＝a7－a17－1＝23.∴S10＝10×a1＋10×92×23＝40.答案：B2．解析：∵Sn＝a1＋an2×n，∴Snn＝a1＋an2，又由S20072007－S20052005＝2⇒a1＋a20072－a1＋a20052＝2⇒a2007－a2005＝4，∴公差d＝2.∴S2009＝2009a1＋2008×20072×2＝2009×(a1＋2007)＝－2009.故选C.答案：C3．解析：由题意四个根为14，14＋16，14＋26，34.则a＝14×34＝316，b＝512×712＝35144.答案：D4．解析：∵a1＝67＞12，∴a2＝2a1－1＝57＞12，a3＝2a2－1＝37＜1，a4＝2a3＝67，故数列{an}满足a1＝a4＝a7＝…＝a3k＋1且am＝am＋3.又20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝57.选B.答案：B5．解析：当n≥2时，Sn·an＋1－Sn＋1·an＝Sn(Sn＋1－Sn)－Sn＋1·(Sn－Sn－1)＝－S2n＋Sn＋1·Sn－1∵Sn＋1＝a11－qn＋11－q，Sn＝a11－qn1－q，Sn－1＝a11－qn－11－q∴Sn＋1·Sn－1－S2n＝a11－q2[(1－qn＋1)(1－qn－1)－(1－qn)2]＝a11－q2()2qn－qn＋1－qn－1＝－qn－1·a11－q2(1－q)2当n是奇数时，Sn＋1·Sn－1－S2n＜0；当n是偶数时，Sn＋1·Sn－1－S2n＞0.∴S4·a5－S5·a4＞0.选B.答案：B6．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－(2n－1＋a)＝2n－1，又a1＝S1，∴1＝21＋a⇒a＝－1；又当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝n2－2n＋b－(n－1)2＋2(n－1)－b＝2n－3，由b1＝T1⇒－1＝1－2＋b⇒b＝0.∴a＋b＝－1.答案：－17．解析：由an＋2＝a2n＋1an⇒an＋2an＋1＝an＋1an，知数列{an}是等比数列，又a1＝1，a6＝32，设公比为q，则32＝q5⇒q＝2.∴an＝2n－1，由图示规律，第11行最右边的数为a121，∴A(12,5)＝a126＝2125.(2)(理)一般地，A(m，n)是数列{an}中的第(m－1)2＋n项．由A(m，n)·A(n，m)＝250⇒m2－2m＋n＋n2－2n＋m＝50⇒m2－m＋n2－n－50＝0，Δ＝1－4(n2－n－50)＝202－(2n－1)2，当(2n－1)2＝81或121时，Δ为完全平方数．解得n＝5或6，m＝6或5.∴m＋n＝11.答案：2125118．解析：依题意a2m－a2n－1＝1，a1＝1，∴a2n＝1＋(n－1)＝n，an＝n.答案：n9．解析：(1)a1＝s1＝4.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，∴an＝4n(n∈N*)．又当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝2－bn－(2－bn－1)，∴2bn＝bn－1，数列{bn}是首项1，公比为12的等比数列，∴bn＝12n－1.(2)由(1)知cn＝a2n·bn＝16n2·12n－1，∴Cn＋1Cn＝16n＋12·12n＋1－116n2·12n－1＝n＋122n2.由Cn＋1Cn＜1得n＋122n2＜1即n2－2n－1＞0，∴n＞1＋2即n≥3.又n≥3时n＋122n2＜1成立，即Cn＋1Cn＜1，又Cn＞0，因此，当且令当n≥3时，Cn＋1＜Cn.10．解析：(1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，an＝1＋1－qn－11－q，q≠1，n，q＝1.上式对n＝1显然成立．(3)由(2)，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得q3－1＝1－q6，①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)，于是q＝－32.另一方面，an－an＋3＝qn＋2－qn－11－q＝qn－11－q(q3－1)，an＋6－an＝qn－1－qn＋51－q＝qn－11－q(1－q6)．由①可得an－an＋3＝an＋6－an，n∈N*.所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．