2015福州市第二次质检数学文试题及答案(3月)

2015年福州市高中毕业班质量检测文科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：1．样本数据12,,,nxxx的标准差222121nsxxxxxxn，其中x为样本平均数；2．柱体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高；3．锥体体积公式：13VSh，其中S为底面面积，h为高.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．函数1yx的定义域为A．1xx„B．1xxC．1xx…D．1xx2．若复数z满足2iiz（i为虚数单位），则z的虚部为A．25B．25C．15D．153．如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员12个场次得分的茎叶图．设甲、乙两人得分的平均数分别为x甲,x乙，中位数分别为m甲,m乙，则A．,xxmm甲乙甲乙B．,xxmm甲乙甲乙C．,xxmm甲乙甲乙D．,xxmm甲乙甲乙4．已知直线2yx为双曲线2222:1xyab（0,0ab）的一条渐近线，则双曲线的离心率为A．32B．52C．2D．5第3题图5．执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为A．8,2B．8,3C．16,3D．16,46．已知直线l与平面平行，则下列结论错误．．的是A．直线l与平面没有公共点B．存在经过直线l的平面与平面平行C．直线l与平面内的任意一条直线平行D．直线l上所有的点到平面的距离都相等7．已知偶函数()fx满足：当12,0,xx时，12120xxfxfx恒成立．设(4)af,(1)bf,(3)cf，则,,abc的大小关系为A．abcB．bacC．bcaD．cba8．设变量,xy满足约束条件,2,26,yxxyxy„……则32zxy的取值范围为A．,10B．8,C．5,10D．8,109．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为A．17B．22C．14213D．2221310．函数22sin10,()240xxxfxxxx，，„的零点个数为A．0B．1C．2D．311．在ABC中，点G为ABC的重心．已知23AB，且向量GA与GB的夹角为120，则CACB的最小值是A．3B．6C．9D．2412．已知函数sinfxxx，有下列三个结论：①存在常数0T，对任意的实数x，恒有fxTfx成立；②对任意给定的正数M，都存在实数0x，使得0fxM…；③直线yx与函数fx的图象相切，且切点有无数多个．则所有正确结论的序号是A．①B．②C．③D．②③第5题图第10题图324侧视图俯视图正视图开始1,0xy3?y输出,xy2xx结束是否1yy第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置上．）13．已知集合21,0,1ABxxR，则集合．．AB等于★★★．14．已知函数()lnfxx．若在区间0,3e上随机取一个数x，则使得不等式()1fx„成立的概率为★★★．15．ABC的内角ABC,,所对的边分别是abc,,．若105,15BC，则2cos15cos105abc的值为★★★．16．在各项均为正整数的单调递增数列na中，11a，22a，且132112,kkkkaaaa*kN，则9a的值为★★★．三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)17．（本小题满分12分）已知函数()3sincos(0)fxxx的图象与直线2y的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若223f，求πcos23的值．18．（本小题满分12分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为,,xyz，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标wxyz的值评定中年人的成就感等级：若4w…，则成就感为一级；若23w剟，则成就感为二级；若01w剟，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：人员编号1A2A3A4A5A,,xyz1,1,22,1,12,2,20,1,11,2,1人员编号6A7A8A9A10A,,xyz1,2,21,1,11,2,21,0,01,1,1（Ⅰ）若该群体有200人，试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少？（Ⅱ）从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人，这两人的综合指标w均为4的概率是多少？19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，12,4ABBCAA，P为线段11BD上一点．（Ⅰ）求证：ACBP；（Ⅱ）当P为线段11BD的中点时，求三棱锥APBC的高．20．（本小题满分12分）小辉是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值为20万元的收藏品M，由于受到收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初的12；从第4年开始，每年初M的价值比上年初增加4万元.（Ⅰ）求第几年初开始M的价值超过原购买的价值；（Ⅱ）记nT（*nN）表示收藏品M前n年的价值的平均值，求nT的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()exxfxm,mR,e2.71828为自然对数的底数．（Ⅰ）若1x是()fx的极值点，求m的值；（Ⅱ）证明：当01ab时，eeabbaab．22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1xyab（0ab）的离心率12e．点,FA分别为椭圆的左焦点和右顶点，且3AF．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F作一条直线l交椭圆于,PQ两点，点Q关于x轴的对称点为Q．若PFAQ∥，求证：12PFAQ．xyPQ'QAFO第22题图第19题图PC1D1B1A1CDAB2015年福州市高中毕业班质量检测文科数学能力测试参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．1．A2．A3．C4．D5．D6．C7．C8．B9．D10．B11．B12．D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．114．1315．216．55三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、二倍角的余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分12分．【解析】（Ⅰ）因为()3sincos(0,)fxxxxR，所以()2sin()6fxx．···········································································2分所以max()2fx．因为函数()fx与直线2y的相邻两个交点之间距离为，所以T，·····························································································3分所以2，解得2,············································································4分所以()2sin(2)6fxx．令222,262kxkkZ剟，····························································5分解得,63kxkkZ剟．···································································6分所以函数()fx的单调递增区间是[,],63kkkZ．··································7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2sin()26f，因为223f，所以1sin()63．··················································································8分所以cos2cos236·································································10分212sin6·····························································11分79．·············································································12分18．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．【解析】（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A综合指标4462453513··············································································································1分由上表可知：成就感为三级（即01w剟）的只有9A一位，其频率为110．···········3分用样本的频率估计总体的频率，可估计该群体中成就感等级为三级的人数有12002010．··············································································································5分（Ⅱ）设事件A为“从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人，他们的综合指标w均为4”．由（Ⅰ）可知成就感是一级的（4w…）有：123568,,,,,AAAAAA，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：1213151618232526283536,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA38565868,,,,,,,AAAAAAAA，共15种．···················································9分其中综合指标4w有：125,,AAA，共3名，事件A发生的所有可能结果为：121525,,,,,AAAAAA，共3种，···························10分所以3()15PA15．·················································································12分19．本小题主要考查直线与直线