2015龙岩市质检数学(理)试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2sin15cos15=A．21B．21C．23D．232．命题“对任意实数x[1,2]，关于x的不等式20xa恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是A．4aB．4aC．3aD．3a3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为A．20B．25C．22.5D．22.754．已知复数(2)zaai（,aRi为虚数单位）为实数，则20(4)axxdx的值为A．2B．22C．24D．445．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是A．33B．32C．37D．3716．如图，BA,分别是射线ONOM,上的两点，给出下列向量：①2OAOB；②1123OAOB；③3143OAOB；④3145OAOB；⑤3145OAOB若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有A．①②B．②④C．①③D．③⑤7．已知过抛物线xy122焦点的一条直线与抛物线相交于A，B两点，若14AB，则线段AB的中点到y轴的距离等于A．1B．2C．3D．48．若函数1)62sin(2)(axxf)(Ra在区间2,0上有两个零点21,xx)(21xx，则0.080.040.030.02353025201510长度(mm)频率组距（第3题图）（第5题图）正视图侧视图俯视图1113（第6题图）ABNMOaxx21的取值范围是A．)13,13(B．)13,3[C．)132,132(D．)132,32[9．已知函数)(xfy是R上的减函数，且函数)1(xfy的图象关于点A)0,1(对称．设动点M),(yx，若实数yx,满足不等式0)6()248(22xyfyxf恒成立，则OMOA的取值范围是A．),(B．]1,1[C．]4,2[D．]5,3[10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1111236，1111124612，1111112561220，……依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156mn，其中nm，*,mnN．设nymx1,1，则12xyx的最小值为A．223B．25C．78D．334第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.11．如右图所示的程序执行后输出的结果S为．12．二项式2531()xx展开式中的常数项为（用数字作答）.13．已知点P在渐近线方程为034yx的双曲线)0,0(12222babyax上，其中1F，2F分别为其左、右焦点．若12PFF的面积为16且120PFPF，则ab的值为．14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有个（用数字作答）．15．已知动点P在函数24)(xxf的图像上，定点)2,4(M，则线段PM长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，(3)()()bbcacac，且B为钝角．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若12a，求3bc的取值范围．17.（本小题满分13分）某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为91的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过94，且他直到第二次测试才合格的概率为278．（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为，求随机变量的分布列和数学期望．（第11题图）1i0SWHILE5iSSi1iiWENDPRINTSEND18.（本小题满分13分）如图，已知,ACBD是圆O的两条互相垂直的直径，直角梯形ABEF所在平面与圆O所在平面互相垂直，其中90FABEBA，2BE，6AF，42AC，点N为线段EF中点．（Ⅰ）求证：直线//NO平面EBC；（Ⅱ）若点M在线段AC上，且点M在平面CEF上的射影为线段NC的中点，请求出线段AM的长．19.（本小题满分13分）223，其如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为左、右顶点分别为12(3,0),(3,0)AA．一条不经过原点的直线lykxm：与该椭圆相交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若0mk，直线1AM与2NA的斜率分别为12,kk．试问：是否存在实数，使得120kk？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数1)()(xeaxxfx（e为自然对数的底数），曲线)(xfy在))1(,1(f处的切线与直线0134eyx互相垂直.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意),32(x，)12()()1(xmxfx恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设(1)()()()xxfxgxxee，123112[g()g()g()g()]nnTnnnn(2,3)n．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数(2)nn，都有36931111nMTTTT成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知二阶矩阵21Mab),(Rba，若矩阵M属于特征值1的一个特征向量311，属于特征值3的一个特征向量112．（Ⅰ）求实数ba,的值；（Ⅱ）若向量35，计算5M的值．（2）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx23221（t为参数），若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为cos4，设M是圆C上任一点，连结AFDCBENO（第18题图）（第19题图）1A2ANOyxMOM并延长到Q，使MQOM．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于BA,两点，点P的直角坐标为(0,2)，求PBPA的值．说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1-5ACCAD6-10BDBCC二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．1512．1013．714．28815．32三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(3)()()bbcacac得2223bbcac，得2223bcabc于是222cos2bcaAbc32又(0,)A，∴6A……………………………………………6分（Ⅱ）∵B为钝角于是2AC，又6A，∴03C由正弦定理可知，12211sin2aRA所以3bcsin3sinBC5sin()3sin6CC13cossin22CCcos()3C又03C，2333C∴3bccos()3C11,22…………………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为12344,,,,()99999pppppp，则,274)91)(1(pp即0524272pp，0)59)(13(pp，解得31p或95p（舍去）所以小刘第一次参加测试就合格的概率为31.…………………………6分（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，12545(1)39981P，5624(2)(1)9981P，5612(3)(1)(1)9981P，所以的分布列为123P45812481128145241212943123.8181818127E………………………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设,ABAF且平面ABEF平面ABCD，可知AF平面ABCD又BD是圆的直径，,ADAB因此，以点A为原点可建立空间直角坐标系如图由于,ACBD是圆O的两条互相垂直的直径，且42AC所以四边形ABCD是边长为4的正方形则)0,0,4(B，，)0,4,4(C，)0,2,2(O，)2,0,4(E，)6,0,0(F，)4,0,2(NEBAB,，BCAB,，)0,0,4(AB是平面EBC的法向量)4,2,0(NO，0)4,2,0()0,0,4(NOAB所以直线//NO平面EBC………………………………………7分（Ⅱ）点M在线段AC上，可设)0,4,4()0,4,4(ACAMNC的中点为)2,2,3(Q，)2,42,43(MQ，由题设有MQ平面CEF)4,0,4(EF，)2,4,0(EC，04)42(408)43(4ECMQEFMQ解得41)0,1,1()0,4,4(AM，线段AM的长为2AM………………………………13分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设可知3a因为223e即223ca，所以22c．又因为222981bacAFDCBENO（第18题图）xzy所以椭圆C的方程为：2219xy………………………………………4分（Ⅱ）解法一：由0mk知:(1,0)D，…………………………………………………5分设直线1AM的方程为1(3)ykx，直线2NA的方程为2(3)ykx．联立方程组122(3)19ykxxy，消去y得:222111(19)548190kxkxk解得点M的坐标为21122113276(,)1919kkMkk．……………………8分同理，可解得点N的坐标为22222222736(,)1919kkNkk……………………9分由,,MDN三点共线，有12221222122212661919327273111919kkkkkkkk，………………10分化简得2112(2)(182)0kkkk．由题设可知k1与k2同号，所以212kk，即．121()02kk