2016年上海市高考理科数学试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设xR,则不等式13x的解集为______________________2、设iiZ23，期中i为虚数单位，则Imz=______________________3、已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则________)()(1xfxf的反函数6、如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，底面ABCD的边长为3，1BD与底面所成角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin1cos2xx在区间2,0上的解为___________学.科.网8、在nxx23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0ba若关于,xy的方程组11axyxby无解，则ba的取值范围是____________11.无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy上一个动点，则BABP的取值范围是.13.设2,0,,cRba，若对任意实数x都有cbxaxsin33sin2，则满足条件的有序实数组cba,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形821AAA的中心，0,11A.任取不同的两点jiAA,，点P满足0jiOAOAOP，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设Ra，则“1a”是“12a”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A）cos56（B）ins56（C）cos56（D）ins5617.已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使得NnSSn2恒成立的是（）（A）7.06.0,01qa（B）6.07.0,01qa（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01qa18、设()fx、()gx、()hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若()()fxgx、()()fxhx、()()gxhx均为增函数，则()fx、()gx、()hx中至少有一个增函数；②若()()fxgx、()()fxhx、()()gxhx均是以T为周期的函数，则()fx、()gx、()hx均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A、①和②均为真命题B、①和②均为假命题C、①为真命题，②为假命题D、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧。（1）求三棱锥111COAB的体积；学.科网（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小。OC1AA1B1O20、（本题满分14）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38。设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点。（1）若l的倾斜角为2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB，求l的斜率.学科&网22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知aR，函数21()log()fxax.（1）当5a时，解不等式()0fx；（2）若关于x的方程2()log[(4)25]0fxaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1[,1]2t，函数()fx在区间[,1]tt上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}na满足：只要*(,)pqaapqN，必有11pqaa，则称{}na具有性质P.（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断{}na是否具有性质P，并说明理由；（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin()nnnabanN.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.参考答案1.)4,2(2.33.5524.76.15.2log(x1)6.227.566或8.1129.33710.2+（，）11.412.[0,12]13.414.52815.A16.D17.B18.D19.（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r．由11的长为3，可知1113．111111111113sin24S，111111C13V312Sh．（2）设过点1的母线与下底面交于点，则11//，所以1C或其补角为直线1C与1所成的角．由C长为23，可知2C3，又1113，所以C3，从而C为等边三角形，得C1．因为1平面C，所以1C．在1C中，因为1C2，C1，11，所以1C4，从而直线1C与1所成的角的大小为4．20.（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx（02y）．（2）依题意，点的坐标为1,14．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.21（1）设,xy．由题意，2F,0c，21cb，22241ybcb，因为1F是等边三角形，所以23cy，即24413bb，解得22b．故双曲线的渐近线方程为2yx．（2）由已知，1F2,0，2F2,0．设11,xy，22,xy，直线:l2ykx．显然0k．由22132yxykx，得222234430kxkxk．因为l与双曲线交于两点，所以230k，且23610k．设的中点为,xy．由11FF0即1F0，知1F，故1F1kk．而2122223xxkxk，2623kykxk，1F2323kkk，所以23123kkk，得235k，故l的斜率为155．22.解：（1）由21log50x，得151x，解得1,0,4x．（2）1425aaxax，24510axax，当4a时，1x，经检验，满足题意．当3a时，121xx，经检验，满足题意．当3a且4a时，114xa，21x，12xx．1x是原方程的解当且仅当110ax，即2a；2x是原方程的解当且仅当210ax，即1a．于是满足题意的1,2a．综上，a的取值范围为1,23,4．（3）当120xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以fx在0,上单调递减．函数fx在区间,1tt上的最大值与最小值分别为ft，1ft．22111loglog11ftftaatt即2110atat，对任意1,12t成立．因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，12t时，y有最小值3142a，由31042a，得23a．故a的取值范围为2,3．23.解析：（1）因为52aa，所以63aa，743aa，852aa．于是678332aaaa，又因为67821aaa，解得316a．（2）nb的公差为20，nc的公比为13，所以12012019nbnn，1518133nnnc．520193nnnnabcn．1582aa，但248a，63043a，26aa，所以na不具有性质．（3）[证]充分性：当nb为常数列时，11sinnnaba．对任意给定的1a，只要pqaa，则由11sinsinpqbaba，必有11pqaa．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设nb不是常数列，则存在k，使得12kbbbb，而1kbb．下面证明存在满足1sinnnnaba的na，使得121kaaa，但21kkaa．设sinfxxxb，取m，使得mb，则0fmmb，0fmmb，故存在c使得0fc．取1ac，因为1sinnnaba（1nk），所以21sinabcca，依此类推，得121kaaac．但2111sinsinsinkkkkababcbc，即21kkaa．所以na不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意1a，na都具有性质”的充要条件为“nb是常数列”．