2016年上海市高考文科数学试题及答案

2016年高考上海数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设xR，则不等式31x的解集为_______.2．设32iiz，其中i为虚数单位，则z的虚部等于______.3．已知平行直线1210lxy：，2210lxy：，则1l与2l的距离是_____.4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.5．若函数()4sincosfxxax的最大值为5，则常数a______.6．已知点（3,9）在函数()1xfxa的图像上，则()fx的反函数1()fx=______.7．若,xy满足0,0,1,xyyx则2xy的最大值为_______.8．方程3sin1cos2xx在区间0,2上的解为_____.9．在32()nxx的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.10．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.12.如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OPBA×uuuruur的取值范围是.13.设a0,b0.若关于x,y的方程组1,1axyxbyì+=ïïíï+=ïî无解，则ab+的取值范围是.14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的*nÎN，{23}nSÎ，则k的最大值为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设aÎR,则“a1”是“a21”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C117.设aÎR，[0,2π]bÎ.若对任意实数x都有πsin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）(A)1(B)2(C)3(D)418.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数.对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56，11AB长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为2，1FAB△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3,b若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{na}与{nb}，记A={x|x=a，*Nn}，B={x|x=nb，*Nn}，若同时满足条件：①{na}，{nb}均单调递增；②AB且*NAB，则称{na}与{nb}是无穷互补数列.（1）若na=21n，nb=42n，判断{na}与{nb}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且{na}与{nb}是无穷互补数列，求数列{nb}的前16项的和；（3）若{na}与{nb}是无穷互补数列，{na}为等差数列且16a=36，求{na}与{nb}得通项公式.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知aR，函数()fx=21log()ax.（1）当1a时，解不等式()fx1；（2）若关于x的方程()fx+22log()x=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t1[,1]2，函数()fx在区间[,1]tt上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.参考答案1.)4,2(2.33.5524.76.15.36.)1(log2x7.28.65,69.11210.33711.1612.1,213.2,14.415.A16.D17.B18.D19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l，底面半径1r．圆柱的体积22V11rl，圆柱的侧面积22112Srl．（2）设过点1的母线与下底面交于点，则11//，所以C或其补角为11与C所成的角．由11长为3，可知1113，由C长为56，可知5C6，CC2，所以异面直线11与C所成的角的大小为2．20.解：（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx（02y）．（2）依题意，点的坐标为1,14．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．21.解：（1）设,xy．由题意，2F,0c，21cb，22241ybcb，因为1F是等边三角形，所以23cy，即24413bb，解得22b．故双曲线的渐近线方程为2yx．（2）由已知，2F2,0．设11,xy，22,xy，直线:l2ykx．由22132yxykx，得222234430kxkxk．因为l与双曲线交于两点，所以230k，且23610k．由212243kxxk，2122433kxxk，得2212223613kxxk，故2222121212261143kxxyykxxk，解得235k，故l的斜率为155．22.解：（1）因为4，4，所以4，从而na与nb不是无穷互补数列．（2）因为416a，所以1616420b．数列nb的前16项的和为23412202222512020221802．（3）设na的公差为d，d，则1611536aad．由136151ad，得1d或2．若1d，则121a，20nan，与“na与nb是无穷互补数列”矛盾；若2d，则16a，24nan，,525,5nnnbnn．综上，24nan，,525,5nnnbnn．23.解：（1）由21log11x，得112x，解得0,1x．（2）2221loglog0axx有且仅有一解，等价于211axx有且仅有一解，等价于210axx有且仅有一解．当0a时，1x，符合题意；当0a时，140a，14a．综上，0a或14．（3）当120xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以fx在0,上单调递减．函数fx在区间,1tt上的最大值与最小值分别为ft，1ft．22111loglog11ftftaatt即2110atat，对任意1,12t成立．因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，12t时，y有最小值3142a，由31042a，得23a．故a的取值范围为2,3．