第二章-波函数

第一章复习量子力学的诞生1四大力学：牛顿力学、热力学、电动力学、量子2两个理论：相对论和量子论3四个实验：(1)黑体辐射普朗克公式：普朗克的能量子假说：ε=hν(2)光电效应Einstein光量子假说：ε=hν(光子)由可知，光子的频率不小于阈值才有光子发射。1)/exp(8),(33TkhννchTνEBAhνmV221(3)原子光谱原子只有在两个定态间跃迁时才发射或吸收电磁波Em-En=hν能量量子化，轨道角动量的量子化条件(4)Compton散射光子与电子的碰撞，动量能量守恒光的粒子性的实验证实outline黑体辐射nhEnPlanck假设光电效应Einstein假说hpCompton散射光的粒子性光子Bohr理论能量量子化能量非连续性光的波粒二象性第二章波函数和薛定谔方程一．德布罗意假设二．薛定谔方程三．波函数的统计解释四．粒子数守恒五．态的叠加原理六．不确定关系(测不准)一物质波的提出matterwave一个能量为E,动量为P的实物粒子同时具有波动性,且有:phmhhE德布罗意关系式DeBroglierelation与粒子相联系的波称为物质波，或德布罗意波。─德布罗意波长估算自由电子的波长:mEhph2设电子动能由U伏电压加速产生phmeUh2U25.12(Å)若U=100伏=1.225Å－X射线波段若U=150伏=1Å若U=1000伏=0.122Å(1)微观粒子德布罗意波长的计算（2）经典粒子德布罗意波长的估算例1质量m=0.01kg，速度V=300m/s的子弹的德布罗意波长为mmVhph34341021.230001.01063.6•因普朗克常数极其微小，子弹的波长小到实验难以测量的程度(其它经典粒子，例如足球的波长也是如此)，它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。设有一个体重为m=50kg的短跑运动员，以速度V=10m/s作运动，求其相应的德布罗意波长。微观粒子有二象性：既有粒子性，又有波动性；微观粒子的状态用波函数描述；),(tr微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态例如，电子在氢原子中时和在无外电场时的状态应该是不同的。波函数也应该是不同的。怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的不同状态的波函数？波动方程的引入waveequation对于沿n方向传播的平面波可写为)]ˆ(2cos[),(tAtrnr)cos(tArk写成复数形式)](exp[),(tiAtrrk代表频率为、波长为，沿x方向传播的平面波1平面波planewave•平面波是描述自由粒子的量子态，是最简单的波函数•平面波具有时、空周期性)](2cos[),(txAtx2k2其中)](2exp[),(EtxphiAtxxEtixexEtxpiA)()](exp[对任意方向运动的自由粒子的波函数)](exp[),(EtiAtrrp2德布罗意自由粒子的平面波利用deBroglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由粒子平面波的表达式hpkx22hE22A薛定谔方程适用条件•只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动速度(υ＜＜c)•要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保持不变，--粒子数守恒二薛定谔方程-量子力学的基本原理之三为了考察体系状态随时间的变化，则波函数必须有时间t介绍量子态随时间变化规律的动力学方程引入了力学量算符的本征值、本征函数等概念Schrödingerequation•薛定谔方程是一个非相对论范畴内的波动方程自由粒子的波函数)](exp[EtiArp将上式对t求微商EiEtiEAit]/)(exp[rpEti即对x求微商xxpiEtiApix]/)(exp[rp222221]/)(exp[1xxpEtiApxrp即2222xpxB.波动方程的建立同理2222ypy2222zpz可得)()(2222222222zzxpppzyx22222222)(pzyx即其中有222p2222222zyxLaplace算符zeyexezyx梯度算符自由粒子的能量mpE2/2自由粒子波函数所满足的微分方程222mti自由粒子的薛定谔方程若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况下，粒子的能量是)(22rUmpE类比自由粒子的情况，得到波函数所满足的微分方程)()()(2)(22,tU,tmt,tirt,rrr薛定谔波动方程Eti算符化规则----量子力学的基本原理之四将222p写成)()()(iippzeyexezyx可见ipˆ另，由Eti动量算符tiEˆ能量算符)(2ˆˆˆ22rUmVTH2222ˆ2mTmp由此派生的经典动能T与算符的对应关系为哈密顿(Hamilton)量对应的算符为于是薛定谔方程可简写成)(ˆ)(,tHt,tirr(1)波函数的统计解释statisticalinterpretation玻恩的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）与该点找到粒子的几率成正比。也就是描写微观粒子的波乃是几率波。三波函数的统计解释--量子力学的基本原理之一trtrtr,,,2•在t时刻，在r点附近的体积元d中找到粒子的几率为在某一位置附近衍射图样的强度与r点附近感光粒子的数目成正比，即与电子打在该点附近的几率成正比。称为几率密度(2)实验表明)()(),(),(2,t,ttrtrwrr通过波函数可以确定在r处附近的体积元d中找到粒子的几率分布d2)(r波函数(r,t)也常称为几率波幅(probabilityamplitude)不同于经典波的波函数，它是个复函数，本身不代表任何物理量，是个不可观测量。),(trΨ考虑由若干个粒子组成的多粒子体系，则波函数为(3)波函数的性质trrrN,,...,21波函数描述微观粒子的运动状态，即量子态•粒子在空间各点的几率总和应为l，即1)()()(2ddrrr归一化是几率波的特性A归一化条件normalizationcondition(4)波函数的数学性质(r,t)与C(r,t)所描述的(相对)几率是相同的，例如在空间点r1与点r2的相对几率，波函数为22212221)()()()(rrrrCC所以应该有,if0)()()(2Addrrr1)(2dArB归一化常数normalizationconstant称为归一化常数A/1例：假如粒子做一维运动，波函数为axxaAaxx0,sin,00，A是一常数，求：(1)归一化的波函数；(2)几率分布函数(几率密度)(3)几率密度最大的位置解：(1)因为粒子做一维运动，归一化条件为1)(2dxx将已知波函数代入得到1sin02adxxaA例题1sin022axdxaA积分后有12cos21002aaxdxadxA即：1212aAaA2所以归一化的波函数为axxaaaxx0,sin2,00，(2)几率密度为axxaaaxxxxw0,sin2,00)()(22，知道几率密度函数后，任意一点的几率密度就可以求得，例如x＝a/2处的几率密度aaaaaaw22sin2)2()2(22(3)首先求出几率密度一阶导数为零的位置02sin2sin222xaaxaadxd则aax,2,0二阶导数小于零的位置xaaxaadxd2cos4sin232222（只能取x＝0，a/2,a）当x＝a/2时，上式的值为0432a所以，x=a/2处几率密度最大(5)波函数满足的条件—量子力学基本假设之一1.平方可积条件有限值rdtr32),(2.一般说来，波函数0),(rtr3.要求是单值函数2),(tr几率密度只能有限，所以要求波函数有限，不能无限大4.波函数及其各级微商要具有连续性*2'2*1'121)()(),()(mamaaa推广：当1，2，···n是体系的可能状态时它们的线性叠加也是系统的可能状态。nnnnncccc)()()()()(2211rrrrr定义：若1,2是体系可能状态，则它们的线性组合=C11+C22也是该体系的一个可能的状态。其中C1,C2为复常数niimCC122各态出现的几率为四态叠加原理—量子力学第二个基本原理五不确定关系—量子力基本假设之一Theuncertaintyprinciple•量子实体在移动中是波，而到达某一处时，则是粒子。•量子世界的这种似波又似粒子的性质直接引出量子的不确定性。测不准原理（不确定关系）内容不确定关系或测不准原理2/xpx例1：一颗质量为10g的子弹，具有200m﹒s－1的速率。若其动量的不确定范围为动量的0.01%（这在宏观范围内是十分精确了），则该子弹位置的不确定范围为多大？解：子弹的动量1220001.0smkgmVp动量的不确定范围144022100.1%01.0smkgpp由不确定关系，得子弹位置的不确定范围mphx30434103.31021063.6例2：一电子具有200m﹒s－1的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%（这也是十分精确了），则该电子的位置不确定范围有多大？解：电子的动量2831108.1200101.9mVp动量的不确定范围32284108.1108.1100.1%01.0pp由不确定关系，得电子位置的不确定范围mphx23234107.3108.11063.6Schrödinger'scat•假想实验•死活概率各占50%•检测时，波函数坍缩•不检测时，猫处于死活两种状态的叠加实验表明：经典世界和量子世界存在着一条界限，一旦越过，量子现象就会消失。作业题：1证明自由粒子的不确定关系式可以写成x2其中为自由粒子的德布罗意波长。2电子位置的不确定量为0.10nm,求其速度的不确定量3一质量为40g的子弹以1×103m/s的速度飞行，求(1)其德布罗意波长，(2)若测量子弹位置的不确定量为0.1mm,其速率的不确定量作业题：讲义P74，第2、3、19[(1),(3)]题第二章定态薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限势阱模型一维线性谐振子模型隧道效应(势垒贯穿)定态薛定谔方程•常常遇到微观粒子的势能函数U与时间t无关的稳定的势场问题，这称为定态问题自由运动粒子…………U=0氢原子中的电子……rerU2041•薛定谔方程是描述体系的状态如何随时间变化•特殊的状态，就是能量取确定值的状态，称之为稳定状态，简称定态stationarystate•定态下，能量的取值不随时间的变化而改变•描述定态的波函数称为定态波函数•定态波函数满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程1定态薛定谔方程的建立Efdtdfi]/exp[)(iEtCtf)()(ˆrErH用分离变量法求解薛定谔方程的特解t),rH