2016届高考数学-第十二章-概率、随机变量及其分布阶段回扣练12-理(含解析)

1阶段回扣练12概率、随机变量及其分布(建议用时：90分钟)一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对解析甲分得红牌与乙分得红牌不会同时发生，但可同时不发生，故这两事件互斥，但不对立．答案C2．(2015·北京海淀区模拟)若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8解析∵EX＝np＝6，DX＝np(1－p)＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112·12·1211＝3·2－10.答案C3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率为()A.12B.13C.14D.15解析当VM－ABCD＝16时，即13×1×1×h＝16，2解得h＝12，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝1×1×121×1×1＝12.答案A4．(2015·榆林模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于()A.15B.25C.35D.45解P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－C14C22C36＝45.答案D5．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为()A.14B.79120C.34D.2324解析基本事件的总数是C310，在三种门票中各自选取一张的方法是C15C13C12，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是C15C13C12C310＝5×3×2120＝14，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－14＝34.答案C6．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为()A.35B.110C.59D.25解析法一第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝35，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝C26C210＝13，3∴P(B|A)＝PABPA＝1335＝59.法二所求概率P＝C15C19＝59.答案C7．(2015·南昌一模)随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12X52的值为()A.23B.34C.45D.56解析因为P(X＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，所以a1×2＋a2×3＋a3×4＋a4×5＝a1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a.∴4a5＝1，则a＝54.则P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝a2＋a6＝23a＝56.答案D8．甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动，若每个社区至少有一名义工，则甲、乙两人被分配到不同社区的概率为()A.56B.16C.1727D.1027解析因为甲、乙两人被分到同一个社区的情况有A33＝3×2×1＝6种，而将四名义工分配到三个不同的社区，每个社区至少分到一名义工的情况有C24·A33＝36种，故甲、乙两人被分配到不同社区的情况共有36－6＝30种，故所求概率为3036＝56.答案A9．(2015·东北三省四市联考)已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为()4A.35B.925C.1625D.25解析PQ中点组成的区域为M，如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为25π－16π25π＝925，故选B.答案B10．(2013·四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图可知，符合要求的S′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P＝S′S＝1216＝34.答案C5二、填空题11．(2015·济南一模)随机变量X服从正态分布N(40，σ2)，若P(X30)＝0.2，则P(30X50)＝________.解析X服从正态分布N(40，σ2)，由正态分布的定义知其图像关于直线x＝40对称．P(X30)＝0.2，∴P(X50)＝0.2.故P(30X50)＝1－2×0.2＝0.6.答案0.612．(2015·上饶调研)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析设向上的数之积为X，则随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝34，P(X＝1)＝19，P(X＝2)＝19，P(X＝4)＝136，因此EX＝49.答案4913．(2015·阜阳测试)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应奖金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的期望为________元．解析a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝17，EX＝17×700＋27×560＋47×420＝500(元)．答案50014．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则EX等于________．解析X＝1时，P＝C17C13C210；X＝2时，P＝C23C210，∴EX＝1×C17C13C210＋2×C23C210＝7×3＋2×3C210＝35.答案3515．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc112解析由题意得，a＋b＋c＋112＝1，①6∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，即－a＋c＋16＝0.②∵DX＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，即a＋c＝23.③联立①②③解得a＝512，b＝14.答案51214三、解答题16．形状如图所示的三个游戏盘中(图1是正方形，M，N分别是所在边的中点，图2是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图3是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．(1)一局游戏后，这三个游戏盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？(2)用随机变量X表示一局游戏后，小球停在阴影部分的游戏盘个数与小球没有停在阴影部分的游戏盘个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望．解(1)“一局游戏后，三个游戏盘中的小球停在各自的阴影部分”的事件分别记为A1、A2、A3，由题意知，A1、A2、A3相互独立，且P(A1)＝12，P(A2)＝14，P(A3)＝13，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝12×14×13＝124.(2)一局游戏后，小球停在阴影部分的游戏盘个数可能是0,1,2,3，相应地，小球没有停在阴影部分的游戏盘个数为3,2,1,0，所以X的可能取值为1,3，则P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)·P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝12×14×13＋12×34×23＝724，P(X＝1)＝1－724＝1724.所以X的分布列为X137P1724724EX＝1×1724＋3×724＝1912.17．为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该产品不能销售的概率；(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列及数学期望．解(1)记“该产品不能销售”为事件A，则P(A)＝1－1－16×1－110＝14.所以该产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知X的所有可能取值为－320，－200，－80，40,160.P(X＝－320)＝144＝1256，P(X＝－200)＝C14·143·341＝364，P(X＝－80)＝C24·142·342＝27128，P(X＝40)＝C34·14·343＝2764，P(X＝160)＝344＝81256.所以X的分布列为X－320－200－8040160P125636427128276481256EX＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.18．某班元旦联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1,2,3,4,5,6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，抽奖规则如下：每人每次抽取两张卡片．(1)若甲、乙两位同学抽奖相互独立，求甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4的概8率；(2)记甲同学所得奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解(1)每位同学所得奖品个数为0的概率为P(0)＝C23C26＝315＝15，所得奖品个数为2的概率P(2)＝C13C26＝15，故每位同学所得奖品个数不少于4的概率为1－15－15＝35.根据相互独立事件同时发生的概率计算公式得，甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4的概率为35×35＝925.(2)X的所有可能取值是0,2,4,6,8,10.根据(1)得P(X＝0)＝P(X＝2)＝15；P(X＝4)＝C13C26＝15；P(X＝6)＝C22＋C13C26＝415；P(X＝8)＝C22C26＝115；P(X＝10)＝C22C26＝115.所以，X的分布列为X0246810P151515415115115根据数学期望的公式得EX＝0×15＋2×15＋4×15＋6×415＋8×115＋10×115＝4.19．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．解(1)由条件和概率的加法有：P(X300)＝0.3，9P(300≤X＜700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率加法，得P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝PXPX＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300mm的条