【成才之路】2015-2016学年高中数学-第2章-4二项分布课时作业-北师大版选修2-3

1【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章4二项分布课时作业北师大版选修2-3一、选择题1．设随机变量ξ服从二项分布B(6，12)，则P(ξ＝3)等于()A.516B.316C.58D.38[答案]A[解析]P(ξ＝3)＝C36(12)3·(12)3＝516.2．一名学生通过英语听力测试的概率为13，她模拟测试3次，至少有1次通过测试的概率为()A.49B.2027C.1927D.827[答案]C[解析]模拟测试3次相当于做了3次独立重复试验，“测试通过”即试验成功，则模拟测试3次通过测试的次数X～B(3，13)，故所求概率为1－P(X＝0)＝1－C03(13)0(1－13)3＝1927.3．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A．(12)5B．C25(12)5C．C35(12)3D．C25C35(12)5[答案]B[解析]质点P移动五次后位于点(2,3)，即质点向上移动了2次，向右移动了3次，将质点移动5次视为做了5次独立重复试验，“向上移动”视为试验成功，设5次移动中向2上移动的次数为X，则X～B(5，12)，所以P(X＝2)＝C25(12)2(12)3＝C25(12)5.4．如果X～B(15，14)，则使P(X＝k)最大的k值是()A．3B．4C．4或5D．3或4[答案]D[解析]P(X＝k)＝Ck15(34)15－k(14)k，然后把选择项代入验证．5．某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P最接近的是()A．3×10－4B．3×10－5C．3×10－6D．3×10－7[答案]B[解析]P＝C910(14)9(34)＋C1010(14)10≈3×10－5.二、填空题6．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案]0.9477[解析]4人服用新药相当于做了4次独立重复试验，设服用新药的4个病人中被治愈的人数为X，则X～B(4,0.9)，所求概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C34×0.93×0.11＋C44×0.94×0.10＝0.2916＋0.6561＝0.9477.7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝34，则P(η≥1)＝________.[答案]78[解析]由P(ξ≥1)＝1－p(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝34得p＝12，则P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)3＝78.8．一射手对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为6581，则四次射击中，他命中3次的概率为________．[答案]8813[解析]设一次射击中，他命中的概率为p，则他四次至少命中一次的概率为1－(1－p)4＝6581，解得p＝13.∴他命中3次的概率为P4(3)＝C34(13)3(1－13)＝881.三、解答题9.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次3次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．[解析](1)该射手射击了5次，其中只在第一，三，五次3次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二，四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p＝C35×(35)3×(1－35)2＝216625.(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C13种情况，故所求概率为P＝C13×(35)3×(1－35)2＝3243125.10.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游河漂而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布．[解析](1)解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X＝2,3,4,5.X＝2表明第一次击中，第二次也击中，P(X＝2)＝23×23＝49；4X＝3表明前2次击中一次，第3次击中，P(X＝3)＝C12(23)1(13)1×23＝827；X＝4表明前3次击中一次，第4次击中，P(X＝4)＝C13(23)1(13)2×23＝427；X＝5表明前4次击中一次，第5次击中，P(X＝5)＝C14(23)1(13)3×23＝1635.所以P(B)＝49＋827＋427＋1635＝232243.解法二：利用P(B)＝1－P(B)．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以P(B)＝1－(13)5－C13(13)4×23＝232243.(2)X＝2,3,4时同(1)，当X＝5时，击中次数分别为0,1,2.∴P(X＝5)＝(13)5＋C15(23)1(13)4＋C14(23)1×(13)3×23＝19.所以X的概率分布为X2345P4982742719[反思总结]要特别注意X＝5的意义，当X＝5时，表示5枪都未中或5枪中只中一枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P(X＝5)易出错，也可以用概率分布的性质间接检验.一、选择题1．在4次独立重复试验中事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为()A.13B．25C.56D．以上全不对[答案]A[解析]设事件A在1次试验中出现的概率为p.由二项分布的概率公式得1－C04p0(1－5p)4＝6581，所以(1－p)4＝1681，解得p＝13.2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]依题意有Ck5×(12)k×(12)5－k＝Ck＋15×(12)k＋1×(12)5－(k＋1)，所以Ck5＝Ck＋15.故有k＋(k＋1)＝5.∴k＝2.3．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X，则P(X≤2)等于()A．C210(16)2×(56)8B．C110(16)×(59)9＋(56)10C．C110(16)×(56)9＋C210(16)2×(56)8D．以上均不对[答案]D[解析]由题意，X～B(10，16)，∴P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝(56)10＋C110×16×(56)9＋C210×(16)2×(56)8.∴A、B、C三选项均不对．4．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.28[答案]A[解析]∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝k)＝Ck100.8k(1－0.8)10－k，∴P(X＝8)＝C8100.88·0.22，故选A.二、填空题5．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一飞机来犯，则至少需要________门高射炮射击，才能以99%的概率击中它．[答案]6[解析]设需要n门高射炮才可达到目的，用A表示“命中飞机”这一事件，由题意得，没有命中飞机的概率为1－0.6＝0.4，故由对立事件的概率分式得P(A)＝1－0.4n.由题意得61－0.4n≥0.99，∴n≥5.02.故应取6.6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他仅第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________．[答案]③[解析]“仅第3次击中目标”意味着其他各次均未击中，故①错；而“恰好击中目标3次”的概率为C34×0.93×0.1，故②错；由于“至少击中目标1次”的对立事件为“一次都未击中目标”，所以概率为1－0.14.故③正确．三、解答题7.(2014·乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．[解析]设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，∵P(A)＝12×12＝14，P(B)＝2×12×(1－12)＝12，P(C)＝310，∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，∵P(A0)＝C04×(35)4＝81625，P(A1)＝C14×25×(35)3＝216625，P(A2)＝C24×(25)2×(35)2＝216625，P(A3)＝C34×(25)3×35＝96625，P(A4)＝C44×(25)4×(35)0＝16625.7∴X的分布列为X01234P8162521662521662596625166258.实力相等的甲，乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)求按比赛规则甲获胜的概率．[解析]记事件A为“甲打完3局才能取胜”，记事件B为“甲打完4局才能取胜”，记事件C为“甲打完5局才能取胜”．(1)①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．∴甲打完3局取胜的概率为P(A)＝C33(12)3＝18.②甲打完4局取才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)＝C23×(12)2×12×12＝316.③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)＝C24×(12)2×(12)2×12＝316.(2)设事件D为“按比赛规则甲获胜”，则D＝A∪B∪C.又∵事件A、B、C彼此互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝18＋316＋316＝12.因此按比赛规则甲获胜的概率为12.