塑性力学-第二章梁的弹塑性弯曲及

第二章梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的塑性极限分析§2.1矩形载面梁的弹塑性纯弯曲§2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析§2.3强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲§2.4超静定梁的塑性极限载荷§2.5用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷§2.6极限分析中的上下限定理§2.7最轻结构的极限设计§2.8弯矩和轴向力同时作用的情形§2.1矩形截面梁的弹塑性纯弯曲关于梁的两个假定（材料力学）：①平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。②截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力σ和正应变ε之间的关系。一、基本关系yxMMyzhb图10+=Ky)2(22xwK在图示的矩形截面梁中，如取x轴为中心线，y轴指向梁的挠度方向，梁的受力状态对称与x-y平面时。由平面假设，截面上的正应变为其中为曲率，和都是的函数。KK0x小变形情形下——式中挠度以指向轴的方向为正。)3(,),(2/2/dyyxbNhh)4(),(M2/2/dyyxybhh截面上的轴力和弯矩为——式中b和h分别为矩形截面的宽度和高度考虑梁的纯弯曲问题，故（3）式中轴向力为零，N=0，而（4）式的弯矩M与x无关。二、弹性阶段)5()(0KyEE由0=N得0=0将代入（3）、（4）)6(222/0EJKdyybEKMh3121=bhJ——截面的惯性矩说明弯矩和曲率之间有线性关系代入式（5）)7(,yJM说明应力分布与y成比例在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服所对应的弯矩和曲率为)8(62sebhMM——弹性极限弯矩)9(22hsEhsKe——弹性极限曲率则（6）式的无量纲形式可写为)'6(//eeKKMM三、弹塑性阶段图2sMMsss2hseMMMs2h考虑的情形eMM设弹塑性区交界处的值为y0±y,2/0hy.2/2/,000hyyhyyyyEKyss当当当dyydyyyybyMshysy2/00000)(2)(有截面上的弯矩：)11().10()3(2)(2eMM或（10）式中，对应于y=y0的应力为σ=σs，故/eKK考虑的情形0M)12(/)(eKsignMK（11）式也可写为)13()/(3221KKeMMe)14(./231)(eMMsignMeKK或对比弹性解)'6(//eeKKMMO1234511.5eKK/eMM/ABM/Me=1.48图31、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其中间部分仍处于弹性阶段，“平截面”的变形特性限制了外层纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，梁的曲率完全由中间弹性部分控制。M，0，M塑性极限载荷，)15(423MM2sbhsMe在y=±0处上下纤维的正应力从+σs跳到-σs，出现了正应力的强间断。O1234511.5eKK/eMM/ABM/Me=1.48图32、3、eKK5=eMM48.1=当变形限制在弹性变形的量级时，材料的塑性变形可以使梁的抗弯能力得到提高。矩形截面梁圆形截面薄圆管工字梁5.1/esMM;7.13/16/esMM;27.1/esMM07.1/约为esMM三、卸载时的残余曲率和残余应力1、卸载规律——在卸载时M~K之间应服从弹性规律弯矩的改变量和曲率的改变量之间的关系：eeKKMM=应力的改变量：)16(.)()(yJMEKy2、残余曲率若弯矩完全卸到零，即MM残余曲率的表达式)17(/2310eMMeMMeKK卸载后的残余曲率与未卸载时的曲率之比：,231/*0eMMeMMKK,321231/*0KeKKeKKK或：适用：esMMM≥*或：EhKKse2=≥*当eKK≤*时，显然有0=0K3、残余应力)18(,2/2/,*,2/*0,)**(10hyhyJMshyyMeMJyJMyEK其中与之间的关系有式（13）和（14）给出**=eKK*M说明：1.在弹性区的残余应力仍保留原来的符号。2.卸载时，应力变化最大的部位在梁的最外层2=hy由sehMMyJM*2*=和+-ss++-seMM*seMM*=+-图43.当再次施加的正向弯矩值不超过M*时，梁将呈弹性响应。5.1≤1*eMM得0)1(=*20eshMM-外层的正应力改变了符号但未出现反向屈服4.如卸载到零以后再施加反向弯矩，则开始时的响应仍是弹性的，当△M满足外层纤维开始反向屈服,即弯矩的变化范围不大于2Me时，结构将是安定的。2==)(+essesMMMM--或§2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析一、梁的弹性极限载荷研究矩形截面的理想弹塑性悬臂梁，在端点受集中力作用PABxxxLMeMsM)(x图5梁的弯矩：）（19)(=)(--PxLxM当P增至seeLbhLMP6==2根部的弯矩eMM-=X=0截面的最外层纤维开始屈服称为弹性极限载荷eP二、塑性状态ePP时，梁的弯矩分布仍服从（19）式。---eMPLxM=)(=)(设开始进入塑性状态的截面在处，则有=x)20()0()/1(2321xLxePPx位于的各截面上均有部分区域进入屈服状态，其弹塑性交界位置)(x)(≤0xx1、塑性极限载荷在处，0=x)-21/23(=)0(ePP当时，0=)0(-sMM=)0(sePPP=23=即梁根部的整个截面都进入塑性流动阶段称为塑性极限载荷sPesMPL=()-与相应的值可由sP3=L2、塑性铰塑性铰：弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地增长，就好像一个铰那样。与通常的铰有两点区别：1.通常的铰不承受弯矩；2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。三、梁的挠度1、梁处于弹性状态ePP),)(1()()(ePPLxeMxMeKxKeKePPLxdxwd))(1(22即以及端条件0)0()0(dxdww可得.))(6322()(eKePPLxxxw特别地.)(32eLeKLw处时，当LxPPe==1、梁处于弹塑性状态sePPPPABxxxLMeMsM)(x图5弹塑性梁段x0Lx)14(/231)(=eMMsignMeKK弹性梁段)'6(//eeKKMM,3/23LPPPes时当.)/3()(21Lxx)20()0()/1(2321xLxePPx区间中的曲率可由下式给出：3≤≤0LxeeKxLKKdxwd2122)3===-(--利用端条件，得)22().0()()(33334121LexKLxxw区间中的曲率可由下式给出：LxL≤≤3eKLxKdxwd)1(23==22--利用x=3/L处的连接条件，得)23()3(,)()(3)()(227123412LxLKLLxLxLxxwe其中LxL≤≤3自由端的挠度为：.9202720)(22eesKLLw可见，弹塑性变形与弹性变形是同数量级的。当载荷P先加到P，然后又卸载到零时，自由端的残余挠度？esKL205413=§2.3强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲一般强化材料:,)(1E在纯弯曲条件下，单调加载时，弯矩表达式为：)24()(202/02/dyydyybEMhh作变量替换后，上式可写为：Ky=)25()(222/2/2dKbEEJKMhkhk可得到M～K关系。仅当时，上式中的才不为零22hyh≤≤如已知K＞0，则由（9）和（12）式：可直接求得M值。KKe/如已知M＞0，则需用叠代法求出相应的K值和应力分布。为此，可利用将（24）式改写为：Ky=)27()]([02/2dyKyKyyhJbEJMK上式右端的第一项为纯弹性部分，第二项是由于梁的塑性Edd≤0变形而对曲率的修正。注意到，有()[]10≤dd在令：()[]10=maxdd则对任意两个曲率和，由中值定理可得2K()()()yKKyKyKyKyK1201122≤--现定义算子T：,)(22/0dyKyKyyJbTKKh而将（27）式写成)28(TKEJMK采用迭代法：1K先令EJMK=)(0则第一次迭代为：,+=)()(01TKEJMK.)1()(nnTKEJMK由于可见T是一个压缩映象，以上迭代过程是收敛的。)-()()-()(≤101mmmmKKTKTK--则第次迭代为：n§2.4超静定梁的塑性极限载荷LLPABC(a)AMCMBM(b)+-AC(c)图6以图示的一次超静定梁为例MsMsKK图7设其MK曲线可由图7中的理想弹塑性模型表示，即～SSSMMKEJMKsignMMMEJMK当当),1()()(,/11当时LLPABC(a)AMCMBM(b)+-AC(c)图6设载荷P从零开始增长。ePPePPAB段和BC段弯矩是线性分布的其中83-PLMA=165PLMB=0=CM在根部A截面maxM当时，SAMM-=对应的载荷为：LMPPSe38==当时ePPLLPABC(a)AMCMBM(b)+-AC(c)图6（1）梁的根部形成一个塑性铰，可以产生任意大的曲率。但由于其它部位仍处于弹性阶段，故根部曲率的大小要受到这些部位的约束。（2）A点成为塑性铰后，该处的弯矩已知，结构成为静定的。由平衡条件得LMPRSC2222SCBMPLLRM当时，LMPPSS3==B点的弯矩为SM梁成为一个机构而不能进一步承载。称为塑性极限载荷sP分析：1.塑性极限载荷并不依赖于弹模E，其值仅与结构本身和载荷有关，而与结构的残余应力状态和加载历史无关。弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的2.若仅计算极限载荷，无须分析弹塑性变形过程，可采用刚塑性模型，用更为简单的方法进行计算。常用的方法：静力法：以应力作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量静力法：是通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值的一种方法。LLPABC(a)AMCMBM(b)+-AC(c)图6以图6所示的梁为例弯矩（绝对值）的最大值只可能在A点和B点。以C点的支座反力为参数LRMCB=PLLRMCA-2=梁内处处不违反屈服条件就要求.,SASBMMMMSCSMLRM222-≤≤PLMLRPLMSCS+≤≤+2-SMPL3≤两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：LMPS3=——塑性极限载荷机动法：是当结构的变形可能成为一个塑性流动（或破损）机构时，通过外载荷所做的功与内部耗散功的关系来寻求所对应外载荷的最小值的一种方法。对于图6所示的梁，可能的破损机构只有一种，即根部A和中点B都成为塑性铰。LLPABC(a)AMCMBM(b)+-AC(c)图6令B点向下移动的距离为δ，A点处梁的转角为B点两侧梁段的相对转角为L=L22=则力P所作的功为：塑性铰上所作的耗散功为：PW=1LMMWSS332==由外力功和内部耗散功相等的条件LMPS3=LMPS3=——塑性极限载荷或注：对于较为复杂的结构，可能的破损机构一般有好几种。对应于每一种机构，都可求得一个载荷值。真实的极限载荷是所有这些载荷中的最小值。§2.5用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷一、几个概念静力场：处处满足平衡条件的内力分布现考虑一个n次超静定刚架，它有n个多余反力).,,=(niRi21设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为m。m个节点处的弯矩),,,(mMj210外力),,,(rP210多余反力)