专题57-直线与圆的位置关系(原卷版)

专题57直线与圆的位置关系专题知识梳理1．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心到直线l的距离d＝||Aa＋Bb＋CA2＋B2．若l与圆C相离⇔dr；l与圆C相切⇔d＝r；l与圆C相交⇔dr.若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ0，则相离．2．圆的弦和切线：圆的半径为r，直线l与圆相交于A、B，圆心到l的距离为d，则|AB|＝2r2－d2．过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．3．直线与圆的方程的应用包括在平面几何中的应用以及在实际生活中的应用．4．坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．5．过圆外一点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．考点探究考向1直线与圆的位置关系【例】已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为13的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．题组训练1.在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是____．2.(2018·扬州期末)已知直线l：x＋3y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长为________．3.已知过点M(－1，－1)的直线l与圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，则直线l的斜率的取值范围____．4.已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)，则直线l与圆C的位置关系是____．考向2圆的切线问题【例】（2018·南京一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点(4,0),(0,4)AB，从直线AB上一点P向圆221xy引两条切线，切点分别为C，D．设线段CD的中点为M，求线段AM长的最大值．题组训练1.过点P(1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线(O为坐标原点)，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝____．2.求过点(－2,3)作圆x2＋y2＋2x－4y＝4的切线方程．3.若过点P(3，4)的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则实数a的值为____．4.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－3)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．考向3直线与圆的应用【例】如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．(1)当P距O处2百米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长．题组训练已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于不同两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．