2020年北京市高考数学试卷-(答案与解析)

2020年北京高考数学试卷一、选择题10小题，每小题4分，共40分．1.已知集合{1,0,1,2}A，{|03}Bxx，则AB（）．A.{1,0,1}B.{0,1}C.{1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（）．A.12iB.2iC.12iD.2i3.在5(2)x的展开式中，2x的系数为（）．A.5B.5C.10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.63B.623C.123D.12235.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21xfxx，则不等式()0fx的解集是（）．A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(0,1)D.(,0)(1,)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列na中，19a，51a．记12(1,2,)nnTaaan……，则数列nT（）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R，则“存在kZ使得(1)kk”是“sinsin”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A.30303sintannnnB.30306sintannnnC.60603sintannnnD.60606sintannnn第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln1fxxx的定义域是____________．12.已知双曲线22:163xyC，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC，则||PD_________；PBPD_________．14.若函数()sin()cosfxxx的最大值为2，则常数的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wft，用()()fbfaba的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，在10,t的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1BB的中点．（Ⅰ）求证：1//BC平面1ADE；（Ⅱ）求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值．17.在ABC中，11ab，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和ABC的面积．条件①：17,cos7cA；条件②：19cos,cos816AB．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p，试比较0p与1p的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12fxx．（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率等于2的切线方程；（Ⅱ）设曲线()yfx在点(,())tft处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()St，求()St的最小值．20.已知椭圆2222:1xyCab过点(2,1)A，且2ab．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B的直线l交椭圆C于点,MN,直线,MANA分别交直线4x于点,PQ．求||||PBBQ的值．21.已知na是无穷数列．给出两个性质：①对于na中任意两项,()ijaaij，在na中都存在一项ma，使2imjaaa；②对于na中任意项(3)nan…，在na中都存在两项,()klaakl．使得2knlaaa．(Ⅰ)若(1,2,)nann，判断数列na是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)nnan，判断数列na是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若na是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：na为等比数列.2020年北京高考数学试卷答案1.D.2.B.3.C.4.D.5.设圆心,Cxy，则22341xy，化简得22341xy，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，所以||1||OCOM22345，所以||514OC，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.6.因为21xfxx，所以0fx等价于21xx，在同一直角坐标系中作出2xy和1yx的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21xx的解为0x或1x.所以不等式0fx的解集为：,01,.故选：D.7.如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,FQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.8.由题意可知，等差数列的公差511925151aad，则其通项公式为：11912211naandnn，注意到123456701aaaaaaa，且由50T可知06,iTiiN，由117,iiiTaiiNT可知数列nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa，故数列nT中的正项只有有限项：263T，46315945T.故数列nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.9.(1)当存在kZ使得(1)kk时，若k为偶数，则sinsinsink；若k为奇数，则sinsinsin1sinsinkk；(2)当sinsin时，2m或2m，mZ，即12kkkm或121kkkm，亦即存在kZ使得(1)kk．所以，“存在kZ使得(1)kk”是“sinsin”的充要条件.故选：C.10.单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606nn，每条边长为302sinn，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为3012sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012tannn，303012sin12tan303026sintan2nnnnnnn，则30303sintannnn.故选：A.11.由题意得010xx，0x故答案为：(0,)12.在双曲线C中，6a，3b，则223cab，则双曲线C的右焦点坐标为3,0，双曲线C的渐近线方程为22yx，即20xy，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为23312.故答案为：3,0；3.13.以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D，1112,02,22,1222APABAC，则点2,1P，2,1PD，0,1PB，因此，22215PD，021(1)1PBPD.故答案为：5；1.14.因为22cossinsin1coscossin1sinfxxxx，所以22cossin12，解得sin1，故可取2.故答案为：2（2,2kkZ均可）.15.()()fbfaba表示区间端点连线斜率的负数，在12,tt这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，甲企业在12,tt这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在12,tt的污水治理能力最强．④错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③16.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCDABCD中，11//ABAB且11ABAB，1111//ABCD且1111ABCD，11//ABCD且11ABCD，所以，四边形11ABCD为平行四边形，则11//BCAD，1BC平面1ADE，1AD平面1ADE，1//BC平面1ADE；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方体1111ABCDABCD的棱长为2，则0,0,0A、10,0,2A、12,0,2D、0,2,1E，12,0,2AD，0,2,1AE，设平面1ADE的法向量为,,nxyz，由100nADnAE，得22020xzyz，令2z，则2x，1y，则2,1,2n.11142cos,323nAAnAAnAA.因此，直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值为23.17.选择条件①（Ⅰ）17,cos7cA，11ab22222212cos(11)72(11)7()7abcbcAaaa8a（Ⅱ）2143cos(0,)sin1cos77AAAA，由正弦定理得：873sinsinsinsin2437acCACC113sin(118)863222SbaC选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816ABAB，223