电工电子技术3

第三章电路的暂态分析第一节暂态分析的基本概念与换路定律第二节RC电路的暂态过程第三节一阶电路暂态分析的三要素法第四节RL电路的暂态过程返回第一节暂态分析的基本概念与换路定律暂态过程产生暂态过程的原因换路定律一、暂态过程返回稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。若开关在t=0时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到I=U/R,这是一种稳态。+－t=0SRLULUSURS打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。在图示的RL电路中返回二、产生暂态过程的原因内因：电路中存在储能元件（C、L）电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有C、L的电路中，从一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。返回外因：换路换路是指电路的结构或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号突然接入、电源电路参数的改变等。换路时电路的状态会发生改变。三、换路定律通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t＝0时换路。把换路前的终结时刻记为t＝0-，把换路后的初始时刻记为t＝0+。在电感元件中，储存的磁场能量为WL=1/2LiL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CUC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压不能跃变。返回iL(0+)＝iL(0－)uC(0+)＝uC(0－)电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。返回若iL(0+)=iL(0－)=0，uC(0+)=uC(0－)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。若iL(0+)=iL(0－)≠0，uC(0+)=uC(0－)≠0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律联合求解。CLiL(t)t=0+t=0－t=∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－)=U0uC(0+)=U0+-开路短路iL(0+)=I0iL(0－)=I0iL(0-)=0iL(0+)=0返回例、在图示电路中，已知：R=1KΩUS=10V，L=1H,求开关闭合后的初始值。+－SiuLRUS返回解：∵S闭合前，电路已处于稳态。iL(0－)=0在S闭合的瞬间，根据换路定律有：iL(0+)＝iL(0－)=0uR(0+)=i(0+)·R=0uR(0+)+uL(0+)=US∴uL(0+)=10VR1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值.例、已知：US=10V，R1=2KΩ，R2=3KΩi1返回请慎重作出选择：换路瞬间C相当于短路换路瞬间C相当于恒压源换路瞬间i1＝i2换路瞬间i1＝iC你的选择是错误的！！！通往天堂的班车已到站，请抓紧时间上车。R1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值.例、已知：US=10V，R1=2KΩ，R2=3KΩi1返回解：∵t＝0－，电路稳态。C相当于开路，i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)=2mAuC(0－)=i2(0－)·R2=6V在S断开的瞬间，根据换路定律有：uC(0－)=uC(0+)=6V,而i2(0+)=0i1(0+)=iC(0+)=[US－uC(0+)]/R1=2mAUC+－返回R1USSCiLiCuC+－R2解：∵t=0－，电路稳态C开路，L短路,iL(0－)=US/(R1+R2)uC(0－)=iL(0－)·R2例、t=0时S断开，求uC(0+)、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。LuL在S闭合的瞬间，根据换路定律有：uC(0－)=uC(0+),iL(0－)=iL(0+)所以有等效电路：返回+－R2uC(0+)iL(0+)uR2(0+)iC(0+)iC(0+)=－iL(0+)=－US/(R1+R2)uR2(0+)=iL(0+)·R2＝uC(0+)uL(0+)=uC(0+)－uR2(0+)=0第二节RC电路的暂态过程零输入响应零状态响应电路的全响应返回返回一、零输入响应如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流。这是因为储能元件要释放能量。因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。1、换路后电路的微分方程返回S在1位置uC(0)=US(初始条件)S在2位置uR(t)+uC(t)=0∵uR(t)=i(t)Ri(t)=－Cduc(t)/dt∴得到一阶常系数线性齐次微分方程0RCCCudtdu+－SiuCRUS12uR2.解微分方程RCduC(t)／dt+uC(t)=0∴特征方程:RCP+1=0P=－1/RCuC(t)=Ae－t/RC∵uC(0)=US∴有A=Us∴通解为uC(t)=USe－t/RC令它的通解形式为:uC=Aept返回代入方程得:(RCP+1)Aept=0显然uC、i、uR都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。返回i(t)=Cduc(t)/dt=C·d(USe－t/RC)／dt=－(US/R)e－t/RCuR(t)=i(t)·R=－USe－t/RC令τ=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位S。变化曲线为:u.iUsuC(t)Us/Ri(t)－UsuR(t)t返回uC(t)=USe－t/RC2.时间常数从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关,τ=RC返回τ值越小,暂态过程进行得越快.τ值越大,暂态过程进行得越慢.当t＝τ时uC(τ)=USe－τ/τ=USe－1=0.368US也就是说，零输入响应的初始值经过一个τ，衰减为原来的36.8％。一般在t＝(3～5)τ时uC(t)的值已很小,可认为暂态结束。UsuC0.368Usτ1tτ1＜τ2＜τ3τ2τ3返回二.零状态响应返回与零输入相反，如果在换路前储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。因此，将电路中输入信号作用时，所产生的响应称为零状态响应。1.换路后的微分方程S在1位置uR(t)+uc(t)=UsuR(t)=i(t)Ri(t)=－C[duc(t)／dt]得到一阶常系数线性非齐次微分方程返回+－SiuCRUS12uRS在2位置uC(0)=0(初始条件)SURCCCudtdu2.解微分方程RCduC(t)/dt+uC(t)=Usuc(∞)=Us∵uc(0)=0返回uC(t)=US(1－e)－t/RC令τ=RCuC(t)=US(1－e)－t/τi(t)=Cduc(t)/dt=(US/R)e－t/τuR(t)=i(t)·R=USe－t/τ显然i、uR是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断增加，最后趋于US。u.iUsUs/RiuRuCtτ反映RC电路充电的速度。一般，经过（3～5)τ的时间，可认为暂态结束。返回uC(t)=US(1－e)－t/τuUs0.632UsuC(t)tτuC(t)=Us(1－e－1)＝0.632Us当t=τ时返回返回+－uCRUS例、已知R=103KΩ，US=100V，C=10μF,求开关闭合后5、10、30秒时的uC值，并画出uC曲线。解：uC(0)=0(初始条件)开关闭合SURCCCudtduuC(t)=US(1－e)－t/RC=100(1－e－0.1t)t=5uC=39.4Vt=10uC=63.2Vt=30uC=95Vu(V)uC(t)t100换路前,储能元件有储能,即非零状态,这种状态下的电路与电源接通，储能元件的初始储能与外加电源共同引起的响应称为全响应。三.电路的全响应返回对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。全响应=零输入响应+零状态响应1.换路后的微分方程t=0,S闭合uR(t)+uC(t)=Us初始条件为uC(0+)=uC(0－)=U0RC[duC(t)／dt]+uC(t)=Us返回+－UsSi(t=0)uRuCRC得到一阶常系数线性非齐次微分方程2.解微分方程.通解形式为:uC(t)=Us+Ae－t/τ∵uC(0)=Uo∴Uo=Us+A,A=Uo－Us所以RC电路的全响应为uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ返回RC[duC(t)／dt]+uC(t)=Us2．对全响应的讨论(1)此时电容将放电，最后达到稳态值Us。全响应=稳态解+暂态解。UoUsUoUs此时电容将充电，最后达到稳态值Us。返回uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τUoUoUsUoUsUoUs放电充电变化曲线tuC返回全响应=零输入响应+零状态响应返回(2)uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ=Us－Use－t/τ+Uoe－t/τ=Us(1－e－t/τ)+Uoe－t/τ可分别求零输入响应（令电源为零）；零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。返回+－UsS1iuRuCR1C例、已知R1=R2=10Ω，US=80V，C=10μF,t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律.(C上初始能量为零)S2解：(1)0t0.1msR2uC(0+)=uC(0－)=0零状态响应uC(t)=US(1－e)－t/R1C=80(1－e－10000t)t1=0.1msuC(t1)=50.56V(2)t0.1msuC(t1+)=uC(t1－)=50.56V全响应uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ=80+(50.56－80)e－t/ττ=(R1+R2)C=2×10－4uC(t)=80－29.44e－5000(t－t1)第三节一阶电路暂态分析的三要素法一阶电路求解一阶电路的三要素法三要素公式说明例题返回只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。一、一阶电路返回对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数τ。因此将初始值、稳态值、时间常数τ称为一阶电路的三要素。二、求解一阶电路的三要素法用f(t)表示电路中的某一元件的电压或电流,f(∞)表示稳态值,f(0+)表示初始值，τ为时间常数。全响应=稳态分量+暂态分量f(t)=f(∞)+Ae－t／τf(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]e－t／τ只要求出f(0+),f(∞)和τ值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。返回f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路前的电路求，其它电压和电流要在换路后的电路中求得。f(∞)：进入稳态后电容相当于开路,电感相当于短路，可应用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值。三、三要素公式说明.时间常数τ：在换路后的电路中求得τ=R0cR0是换路后的电路中,从C两端看进去的将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。返回例、图示电路中,IS=6mA,C=0.1μF,R1=6KΩ,R2=1KΩ,R3=2KΩ，在t=0时将S闭合,试求uC(t)，画出曲线。返回SR2R3R1IS解:uC(0+)=uC(0－)V3666RI1S＝CV8262166RIRRRRu3S3211C＝τ=[(R1+R2)//R3]·C=0.155×10－3Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=8+(36－8)e－6430tV=8＋28e－6430tVuC(V)t368例、图示电路中,IS=8mA,C=4μF,R1=2KΩ,R2=3KΩ,R3=1KΩ,R=5KΩ，E=10V，在t=0时将S由1打向2,试求uC(t)，画出曲线。返回SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)V12RRRRRI221SCV6RRERU212Cτ=[(R1//R2)+R3]·C=8.8×10－3Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=6+(