2.2.2直接证明与间接证明-反证法

2.2.2直接证明与间接证明—反证法思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反例1用反证法证明：如果ab0，那么ab证：假设ab不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知ab矛盾,若ab，则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。练一练：已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。反思1：用反证法证题的一般步骤是什么？（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。例2求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！假设不成立，故是无理数。2练一练：1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。2、你认为反证法的使用情形有那些？反思2：（4）与客观事实矛盾.说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面词语等于大于（）小于()是都是否定正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有两个一个也没有某个某些至少有n＋1个某两个思考：小结1.反证法是一种间接证明的方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，其基本思路是：假设结论不成立→构设矛盾→否定假设肯定结论.2.反证法主要适用于以下两种情形：（1）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；（2）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形.练习：1、已知实数a，b，c满足0a,b,c1，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同时大于1/4．3、已知a+b+c0，ab+ac+bc0，abc0，求证：a0，b0，c0．没有负根＝用反证法证明：方程（上为增函数在区间（－证明：函数、已知函数0f(x)2))1,)()1()1(122xfaxxayx12122211221:若pp=2(q+q),证明:关于x的方程x+px+q=0与x+px+q=0中至少有一个有实根.2222:若a,b,c均为实数,且a=x-2y+,2b=y-2z+,c=z-2x+,36求证:a,b,c中至少有一个大于0.作业综合法和分析法的应用(习题课)知识回顾1.综合法的基本含义和思维流程分别是什么？含义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.…1PQÞ12QQÞ23QQÞnQQÞ流程:2.分析的基本含义和思维流程分别是什么？含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止.流程:…1QPÜ12PPÜ23PPÜ显然成立的条件应用举例例1已知a，b，c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥3abc.112a例2已知数列{an}满足,,求证：2*1()nnnaaanN121112111naaa例3已知a≥3，求证：31323aaaa-----例4在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列，求证：113abbcabc+=++++例5已知a2＋b2＋c2＝1，求证：≤ab＋bc＋ca≤1.12-