直线与平面垂直的判定和性质(三)

直线与平面垂直的判定和性质（三）1．已知P为△ABC所在平面外一点，点P在平面ABC上的射影为O．（1）若PA=PB=PC，则O是△ABC的________心；（2）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心；（3）若O在△ABC内，且P到△ABC三边的距离相等，则O为△ABC的________心；（4）若PA⊥BC，PB⊥CA，则O为△ABC的________心．2．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．3．已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即2222ADCBDCDABABCSSSS．4．已知斜线AB和平面所成的角为1，BC，BC与AB所成的角为，BC与AB在平面内的射影所成的角为2，求证：21coscoscos．5．如图9-33，在△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB、SC上的射影分别为P、Q．求证：PQ⊥SC．图9-336．如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB平面，点C，C在内的射影为O，AC和BC与平面所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面所成角的大小．图9-34参考答案1．（1）外心．∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心．（3）内心．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．（如图答9-23）（4）垂心．图答9-232．如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵△ACD是Rt△，∴22caAD．∵△ABC是Rt△，∴22baAB．∵△BCD是Rt△，∴22cbBD．而在△ABD中，0))((2cos22222222＞cabaaADABBDADABBAD，又∵∠BAD是三角形内角，∴0°＜∠BAD＜180°，∴∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴△ABD是锐角三角形．图答9-243．如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则abSADB21，bcSBDC21，acSADC21．在△ABD中，作DM⊥AB于M，则22baabDM．∵CD⊥AD，CD⊥DB，∴CD⊥平面ADB，∴CD⊥DM．在Rt△CDM中，22222222babacCDDMCM22222222baaccbba，∴222222222222)(41)21(baaccbbabaCMABSABC．222222222)(41CDABDCADBSSSaccbba图答9-254．如图答9-26，过A作AD⊥，垂足为D，连结BD，则1ABD，2CBD，∠ABC=．过D作DC⊥BC于C，连结AC，由三垂线定理，AC⊥BC．在Rt△ABC中，ABBCcos；在Rt△ABD中，ABBD1cos；在Rt△BCD中，BDBC2cos，∴．21coscoscos图答9-265．BSBBCSBAPAPBCAPBCAABSASABCABABCSABSABBCSAABC平面平面平面90）．（三垂线定理的逆定理内的射影在平面为平面SCPQSCAQSBCAQPQSBCAP6．连结OD，∵CO⊥平面AOB，∴∠CDO为CD与平面所成的角．∵AB、CB与平面所成角分别为30°和45°，∴∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，aBC2＝．在Rt△ABC中，22226)2()2(aaaAB，∴aAB6．∵CD⊥AB，∵BCACCDAB2121，∴aaaaABBCACCD32622．在Rt△COD中，2332sinaaCDO，∵0°＜∠CDO＜90°，∴∠CDO=60°，即CD与平面所成的角为60°．