直线

学科：数学教学内容：直线一、考纲要求1.理解有向线段的概念.掌握有向线段定比分点坐标公式，熟悉运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式.2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.能够根据条件求出直线的方程.3.掌握两条直线平行与垂直的条件.能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.二、知识结构1.有向线段一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段AB的数量用AB表示.若有向线段AB在数轴上的坐标为A(x1)，B(x2)，则它的数量AB=x2-x1它的长度｜AB｜=｜x2-x1｜平面上两点间的距离设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的任意两点，则它们的距离｜P1P2｜=212212)()(yyxx当P1P2⊥Ox轴时，｜P1P2｜=｜y2-y1｜；当P1P2⊥Oy轴时，｜P1P2｜=｜x2-x1｜；点P(x,y)到原点O的距离，｜OP｜=22yx.三角形的中线长公式如图，AO是△ABC的BC边上的中线.则｜AB｜2+｜AC｜2=2［｜AO｜2+｜OC｜2］2.线段的定比分点有向直线l上的一点P，把l上的有向线段21PP分成两条有向线段PP1分成两条有向线段2PP，则PP1和2PP的数量之比λ=21PPPP定比分点公式若P1、P2两点坐标为(x1,y1)，(x2,y2),点P(x,y)分有向线段21PP成定比λ=21PPPP(λ≠-1)，则P点坐标x=121xx，y=121yy.(1).中点公式设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则P1P2的中点P(x,y)的坐标是x=221xx,y=221yy.(2)三角形的重心公式若△ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则△ABC的重心G(x,y)的坐标是x=3321xxx，y=3321yyy3.直线的方程直线方程的几种形式名称已知条件方程说明斜截式斜率k纵截距by=kx+bx不包括y轴和平行于y轴的直线点斜式点P1(x1,y1)斜率ky-y1=k(x-x1)不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)211211xxxxyyyy不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式横截距a纵坐标bbyax=1不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式—Ax+By+C=0A、B不同时为0两条直线的位置关系当直线不平行于坐标轴时：(1)直线l1到l2的角直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.计算公式设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，则tgθ=21121kkkk(k1k2≠-1)(2)两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tgθ=21121kkkk4.点与直线的位置关系点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是Ax0+By0+C=0.点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是d=2200BACByAx据此可推出：(1)两平行线间的距离公式两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为d=2221BACC.5.直线关于点的对称直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0.“直线关于直线”对称(1)几种特殊位置的对称已知曲线f(x,y)=0，则它：①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0；②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0；③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0；⑤关于直线线y=-x对称的曲线f(-y,-x)=0；⑥关于直线x=a对称的曲线是f(2a-x,y)=0；⑦关于直线y=b对称的曲线是f(x,2b-y)=0三、知识点、能力点提示(一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点例1在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分线的长.解：由两点距离公式求得│AB│=5，│AC│=10，设角平分线交BC于D(x，y)，由角平分线性质得λ=21ACABDCBD，从而求得D(310，317)，故可得│AD│=3210.(二)直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程的一般形式例2直线xcosα-y+1＝0的倾斜角的变化范围是.解直线方程化为斜截式y=cosα·x+1，故k=cosα，又-1≤k≤1，故倾角所取范围是［0，4］和［43，π］。(三)两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离说明这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.使用公式求l1到l2的角时，应注意k1、k2的顺序.过两直线交点的直线系方程中不包括直线l2.例3光线由点(-1，4)射出，遇直线2x+3y-6=0被反射，已知反射光线过点(3，1362).求反射光线所在直线方程.解：设(-1，4)点关于已知直线对称点为(x′，y′).则点(-1，4)与点(x′，y′)的连线段被已知直线垂直平分，故可得06)24(3)21(22314yxxy解得13281329yx，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.(四)综合例题赏析例4设点P在有向线段AB的延长线上，P分AB所在的比为λ，则()A.λ＜-1B.-1＜λ＜0C.0＜λ＜1D.λ＞1解由已知有λ＝PBAP因为AP与PB的方向相反，且｜AP｜＞｜PB｜，PBAP｜＜-1，应选A。例5和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0解：若曲线c的方程f(x,y)=0，曲线c和c′关于x轴对称，则曲线c′的方程是f(x，-y)=0.∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.应选B.例6如图，设图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k1＜k2解显然k1＜0，0＜k3＜k2于是应选D.例7如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么()A.a=31,b=6B.a=31,b=-6C.a=3,b=-2D.a=3,b=6解C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1关于直线y=x对称，则C2的方程是f(y,x)=0.于是直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2,即y=axa21.由题设y=axa21和y=3x-b是同一条直线，所以baa231，解得631ba从而应选A.例8通过点(0，2)且倾斜角为15°的直线方程是()A.y=(3-2)x+2B.y=(2-1)x+2C.y=(2-3)x+2D.y=(23-1)x+2解：∵直线通过点(0，2).∴直线在y轴上的截距b=2.∵直线的倾角为15°，∴直线的斜率k=tg15°=322123130sin30cos1.把k=2-3，b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-3)x+2.应选C.例9直线3x-2y=6在y轴上的截距是()A.23B.-2C.-3D.3解：∵3x-2y=6y=-2x+3y=1，又直线的截距为byax=1，∴b=-3，即在y轴上的截距为-3.应选C.例10如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=()A.-3B.-6C.-23D.23解：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，且A2≠0，B2≠0，C2≠0，则有l1∥l2212121CCBBAA∴由题设有3a=2212a=-6.应选B.例11两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是()A.A1A2+B1B2＝0B.A1A2-B1B2＝0C.2121BBAA＝-1D.12121AABB解若B1B2＝0，不妨设B1＝0，则直线l1∶A1x+C1=0，l1是垂直与x轴的直线，由于l1⊥l2，所以l2是垂直y轴的直线，从而l2∶B2y+C2=0，即A2=0故A1A2+B1B2＝0若B1B2≠0，则l1和l2的方程可化为y=-1111BCxBA,y=-2222BCxBA,得k1＝-11BA，k2＝-22BA,由l1⊥l2k1·k2=-111BA·22BA＝-1A1A2+B1B2＝0.综上有若l1⊥l2，则A1A2+B1B2＝0反之，若A1A2+B1B2＝01°A1A2≠0B1B2≠0A1A2＝-B1B211BA＝-22AB11BA·22BA＝-1(21BA)·(22BA)＝-1，即k1·k2＝-1所以l1⊥l2.2°若A1·A2＝0，不妨设A1＝0，且A2≠0，则B1≠0且B1·B2＝0B2＝0，所以l1∶B1y+C1=0,是垂直y轴的直线；l2∶A2x+C2=0,是垂直x轴的直线；于是l1⊥l2又若A1＝0且A2＝0则l1∶B1y+C1=0,l2∶B2y+C2=0,则l1∥l2，此与l1⊥l2矛盾.综上有若A1A2+B1B2＝0，则l1⊥l2综合(1)、(2)知，l1⊥l2A1A2＝B1B2＝0故应选A.例12如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于()A.1B.-31C.-31D.-2解：两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，互相垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0∴由题设得a·1+2·1=0，从而a=-2.应选D.例13点P(2，5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()A.(5，2)B.(2，-5)C.(-5，-2)D.(-2，-5)解：设P(2，5)和Q(m，n)关于直线y=-x对称，则PQ中点R(22m，25n)在y=-x上，且KPQ·(-1)=-1.∴1)1(2502522mnnm，解得25nm∴对称点Q的坐标是(-5，-2).应选C.例14原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是()A.(2，32)B.(825，625)C.(3，4)D.(4，3)解：设(m，n)为所求，则　　　　　　　　　②　　　　　①1)34(25206208mnnm解得m=4，n=3∴应选D.例15在直角坐标中，△ABC的三个顶点是：A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x=a，将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是()A.3B.1+22C.1+33D.2-22解如图易知直线AC的方程是y=3，直线AC的方程是32yx＝1，即3x+2y=6.设直线x=a与AB交于D，与AC交于E，则D，E的坐标分别为D(a,3),E(a,236a)从而｜DE｜=3-236a=23aS△ADE＝21AD·DE＝21a·23a=43a2(1)又S△ABC＝21·3·＝29，S△ADE＝21·S△ACB＝49，(2)由(1)，(2)有43a2＝49，解得a=3应选A.例16以A(1，3)、B(-5，1)为端点的线段垂直平分线的方程是()A.3x-y+8=0B.3x+y+4=0C.2x+y+2=0D.3x+y+8=0解：设P(x，y)为线段AB的中垂线上的点，则│PA│=│PB│即2222)1()5()3()1(yxyx，化简得3x+y+4=0.应选B.例17在直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)的直线1与直线OP的夹