西安中学高三年级四月模拟考试数学试题

西安中学高三年级四月模拟考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。参考公式：)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21coscos)]cos()[cos(21sinsin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos正棱台、圆台的侧面积公式l)c'c(21S圆台；其中c’，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长。台体的体积公式h)SS'S'S(31V台体，其中S’，S分别表示上、下底面面积，h表示高。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．线段AB的长为6cm，点P在BA的延长线上，|PB|=9cm，那么，P分线段AB所成的比等于（）A．1/3B．3C．-1/3D．32．（理）已知f(cosx)=sin2x，则)12(sinf（）A．-1/2B．1/2C．23D．23（文）已知x2x)1x(f2，则f（2）=（）A．0B．3C．0或3D．23．复数z在复平面上对应的点为M，则复数1/z在复平面上对应的点只可能为（）A．EB．FC．MD．N4．记P=1，O=sin1，R=gh1，则它们的大小关系为（）A．PQRB．RPQC．QPRD．QRP5．设P，Q是两个集合，定义：}Qb,Pa|)ba{(QP，若P{4，5，6，7}，Q={3，4，5}，则P×Q的元素个数是（）A．3B．4C．7D．126．圆锥的侧面展开图是一个半径为12的半圆，这个圆锥的内切球的体积为（）A．34B．332C．38D．3167．若函数sinx+f（x）在区间]43,4[内单调递增，则f(x)可以是（）A．1B．cosxC．sinxD．-cosx8．安排甲、乙、丙三人周一至周六值班，每人值班两天，但周一不能排甲，周六必须排乙，则不同的排法种数共有（）A．18B．12C．24D．369．如果x、y是实数，那么x≠y是cosx≠cosy的（）A．充分而非必要条件B．必要而非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（理）双曲线1ky4x22的离心率)2,1(e，则k的取值范围是（）A．（0，12）B．（8，20）C．（-12，0）D．（-20，-8）（文）双曲线1ky4x22的离心率为2，则k的取值是（）A．12B．-12C．-8D．-2011．已知函数是定义域为R的偶函数，且是周期为2的函数，当]3,2[x时，f(x)=x则f(3/2)的值为（）A．11/2B．-11/2C．-5/2D．5/212．（理）方程2xsinx的根为1x，方程2xarcsinx的根为2x，则21xx（）A．8B．4C．2D．π（文）下列各式中，值为1/2的是（）A．15cos15sinB．12sin12cos22C．'3022tg1'3022tg2D．26cos1二、填空题：本大题共4小题：每小题4分，共16分。13．设函数),1[xxlog)1(x3)x(f27x，，，且满足31)x(f的x的值为_______________。14．二项式7)a1a(展开式中a的一次幂的系数为___________________。15．在棱长为1的正方体1AC中，对角线1AC在六个面上的射影长度总和为_____________。16．抛物线)0a()ay(a2x2的顶点与焦点关于点（0，1）对称，则a=____________。三、解答题：本大题共6小题；共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（文）（12分）设复数xcosi2xsink2z如果z的最大值为2，求实数k（理）（12分）设21zz，是模为1的两个复数，21zargzarg，，且432，21z·z的虚部为21z·z53，的实部为1312。求（1）)sin(的值：（2）2sin的值。18．（理）（12分）已知数列2a2a4a}a{n1n1n，满足：（1）求数列}a{n的通项公式：（2）设)2a(log·)2a(logb1n2n2n，n21nb1b1b1S，求)1S(nlimnn。（文）（12分）设数列}a{n的首项为100a1且)Nn(8aan1n（1）求数列的通项na；（2）若数列的前n项和0Sn，求n的最小值；（3）问当n为何值时，nS最小值，并求这个最小值。19．（12分）已知：四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，二面角P—CD—B为45°。（1）求证：AF∥平面PCE：（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离。20．（12分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕涝。第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年5万元。（1）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出。21．（12分）已知函数1212)x(fxx，设其反函数为)x(f1，对于给定的正数k，试求解关于x的不等式kx1log)x(f2122．（14分）设双曲线C的中心在原点，以抛物线4x32y2的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线。（1）试求双曲线的方程：（2）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点。试问：①当k为何值时，以AB为直径的圆经过原点；②（理科做，文科不做）是否存在这样的实数k，使A、B两点关于直线y=ax对称（a为常数）。若存在求出k的值；若不存在，请说明理由。西安中学高三年级四月模拟考试数学答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBACDBDABCBDC二、填空题（每小题4分，共16分）13．314．3515．2616．34三、解答题17（文）（12分）解：4kk)2kx(coskxcoskxcosxcos2xsink2|z|22222又∵k≥0，∴当cosx=-1时，2k21|z|最大，解得k=3/217．（理）（12分）解：（1）由题设，，，)sin(i)cos(zzsinicoszsinicosz2121).sin(i)cos(zz211312)cos(53)sin(，（2）∵432，∴23，40∴13/5)sin(5/4)cos(，，∴6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin18．（理）解（1）由2a2an1n得)2a(22an1n∴数列}2a{n是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1nn222a∴22ann（或用归纳法，需证明）（2）)1n(n2log2logb1n2n2n∴1n1n1)1n(n1b1n，1n11)1n1n1()4131()3121()211(Sn∴1)1nn(lim)1S(nlimnnn18．（文）解：（1）∵)Nn(8aan1n∴}a{n是等差数列。公差100a8d1，∴108n88)1n(100an（2）由082)1n(nn100Sn得n26，∴满足0Sn的最小值为27（3）令0108n88)1n(100an得5.13n，∴当n=13时，nS最小，最小值676S13。19．（12分）解：（1）取PC的中点为G，连结FG、EG，∵AB//DCDC21FGDC//FG，，，AB21AE，∴AE//FG，∴四边形AFGE为平行四边形，∴AF//EG，又∵PCEEG,PCEAF平面平面，∴AF//平面PCE。（2）∵PA⊥平面ABCD，AD⊥DC∴PD⊥DC∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∴∠PDA=45°即△PAD为等腰直角三角形又∵F为PD的中点∴AF⊥PD……①由DC⊥AD，DC⊥PD，DPDAD得DC⊥平面PAD，而PADAF平面，∴AF⊥DC②由①②得AF⊥平面PDC，而EG//AF，∴EG⊥平面PDC，又PCEEG平面，∴平面PCE⊥平面PDC。（3）过点D作DH⊥PC于H，∵平面平PCE⊥平面PDC∴DH⊥平面PEC即DH的长为点D到平面PEC的距离。在Rt△PAD中，PA=AD=a，2PD在Rt△PDC中，a36PCDCPDDH,a3PC,aCD,2PD即点D到平面PCE的距离为a36。20．解：（1）设n年后开始盈利，盈利y元，则98n40n298]42)1n(nn12[n50y2令y0解得Nn,5110n5110∴3≤n≤17即捕捞3年后开始盈利：（2）①平均盈利为1240n98n2240n98n2ny②102)10n(2y2,当n=10时,万元最大102y,∴经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102+8=110万元两种方案盈利额相同，但方案②时间长3年，所以方案①合算。21．解：1221)x(fx，x∈R，∴)1,1()x(f所解得x1x1logx2，∴)1x1(,x1x1log)x(f21原不等式转化为kx1logx1x1log22，且k0，-1x1∴0k1x1kx1x1x1解得0k1x1k1x①当1-k-1，即k2时，不等式解集为{x|-1x1}②当-1≤1-k＜1即0＜k≤2时，不等式解集为{x|-kx1}。22．（14分）解：（1）抛物线方程为)32x(32y2，∴抛物线顶点为)0,32(准线方程为321x，依题意，在双曲C中有321ca32c2解之得3/1a2，1b2∴双曲线的C方程为1yx322（2）①由1yx31kxy22得02kx2x)k3(22由已知0x32，△0得)3k(,6k6设)y,x(B),y,x(A2211，∵OA⊥OB，则0yyxx2111∵1kxy,1kxy2211∴0xx)1kx)(1kx(2121即01)xx(k)k1(xx21221由韦达定理知221221k3k2xx,k32xx代入化简得k=±1∴k=±1以AB为直径的圆过原点。③若存在实数k，使A、B两点关于直线y=ax对称，则iii2xx2yyii2)xx(kyyi1k21212121由i，ii有2)xx(k)xx(a2121又∵221k3k2xx代入上式化简得2ak=6∴ak=3与i矛盾.故不存在实k，使A、B两点关于直线y=ax对称。