椭圆及其标准方程

学科：数学教学内容：椭圆及其标准方程【基础知识精讲】1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：22ax+22by=1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：22ay+22bx=1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.本节学习方法：1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等.2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一般都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决.【重点难点解析】同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，主要掌握椭圆的定义及其标准方程，需要大家学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再思考，再分析再理解.例1求与椭圆92x+42y=1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x+42y=1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为22ax+522ay=1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴29a+542a=1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为152x+102y=1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜=4)53(2+4)53(2=215∴a2=15b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为152x+102y=1例2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(-3，-2)，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有12316nmnm解得m=91，n=31∴所求椭圆方程为92x+32y=1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为345和325，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜=345，｜PF2｜=325由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=25∴a=5而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2=12PFPF=21∴∠PF1F2=62C=｜PF1｜cos6=3215∴b2=a2-c2=310故所求方程为52x+103y2=1或103x2+52y=13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法.例4已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为92x+52y=1(在已知圆C1内)【难题巧解点拨】例1已知MN是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y=axy00(x+a)①直线BN的方程为：y=axy00)ax(②①×②得：y2=22020axy(x2-a2)③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=-22bay02,代入得③得：y2=22ab(x2-a2)∴交点P的轨迹方程为22ax-22by=1例2已知椭圆22x+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P(21，21)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减并除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2)1212xxyy=0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y·1212xxyy=0(*)(1)将1212xxyy=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将1212xxyy=21xy代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得1212xxyy=-21∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例3已知中心在原点，一焦点为F(0，50)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为21，求椭圆方程.解：∵C=50，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为5022by+22bx=1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=)5(101222bb又∵221xx=21∴12b2=10b2+50解得b2=25a2=75∴所求的椭圆方程为752y+252x=1例4已知P为椭圆252x+92y=1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵21PFFS△=21｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴21PFFS△=21×12×23=33例5已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：∴k∈(-2，-2)∪(2，2)∪(2，3)例6△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆42x+32y=1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，3)，(0，-3)【知识探究学习】问题：如何用尺规作图法作椭圆的大致示意图.提示：由椭圆的定义作图，建立如图的坐标系，取｜OF1｜=｜OF2｜=C,｜OA1｜=｜OA2｜=a在F1F2间任取一点P1，以｜P1A1｜为半径，以F1为圆心画弧；以F2为圆心，以｜P1A2｜为半径画弧，两弧的交点即在所求椭圆上.用同样的方法去F1F2间取一系列点，最后用圆滑曲线连起来即可.请同学们证明.【典型热点考题】例1求椭圆1002x+252y=1上一动点P到直线3x+8y+72=0距离的最大值及最小值.分析常规思路是设P(x0,y0)是椭圆上的点，其到直线的距离为d=2200837283yx,怎样求d的最值呢?这样计算较为麻烦!换一个角度思考，假设椭圆上点P(x0,y0)到直线的距离最大或最小，过P作已知直线的平行线l′，则l′与椭圆的位置关系怎样呢?应相切，否则P一定不是距离的最大或最小.解：设与直线3x+8y+72=0平行直线为3x+8y+t=0，由12510008322yxtyx消去y得：25x2+6tx+(t2-1600)=0令△=0即4［9t2-25(t2-1600)］=0∴t=±50当t=50时，直线3x+8y+50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d1=737322当t=-50时，直线3x+8y-50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d2=7373122∴最大距离为7373122，最小距离为737322例2在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=21，tan∠MNP=-2，建立适当的坐标系求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.分析以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如下图.设所求椭圆方程为22ax+22by=1(a＞b＞0),分别设M、N、P点坐标为(-c，0)，(c,0)和(x0,y0).∵tanα=tan(π-∠MNP)=2由题设知)(2)(210000cxycxy解得cycx343500即P(35c,34c)在△MNP中，｜MN｜=2c,MN上的高为34c∵S△MNP=21·2c·34c=1∴c=23即P(635，333)∵点P在椭圆上且a2=b2+c2∴2222)332()23()635(bb=1解得b2=3或b2=-31(舍去)∴a2=b2+c2=415故所求椭圆方程为：154x2+32y=1【同步达纲练习】A级一、选择题1.椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆方程是()A.3x2+1002y=1B.4002x+3362y=1C.1002x+362y=1D.202x+122y=12.与椭圆92x+42y=1共焦点，且过点P(3，-2)的椭圆方程是()A.152x+192y=1B.102x+152y=1C.152x+102y=1D.102x+152y=13.椭圆mx2+42y=1的焦距是2，则m的值是()A.5B.8C.5或3D.204.过椭圆252x+92y=1左焦点F1引直线l交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是()A.16B.18C.20D.不能确定5.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(53，-4)和Q(-54，3)，此椭圆的方程是()A.252x+y2=1B.x2+252y=1C.252x+y2=1或x2+252y=1D.非A、B、C答案二、填空题6.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是.7.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为.8.P点在椭圆452x+202y=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则P点的坐标是.三、解答题9.椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程.10.已知椭圆92x+42y=1上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标.AA级一、选择题1.在△ABC中，A(-1，0)，C(1，0)，且｜BC｜、｜CA｜、｜AB｜成公差为负的等差数列，则顶点B的轨迹方程为()A.42x+32y=1B.42x+32y=1(x＞0)C.42x+32y=1(-2＜x＜0＝D.42x+32y=1(x＜0)2.椭圆的焦点为(-2，0)和(2，0)，且椭圆过点(25，-23)，则椭圆方程是()A.102y+62x=1B.102x+62y=1C.82y+42x=1D.42y+82x=13.P是椭圆252x+162y=1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P点的坐标是()A.(1，986)B.(925，9814)C.(1，±986)D.(925,±9814)4.若关于x,y的方程