四校联考试题数学试题(理)

晋城一中太原五中运城中学太谷中学山西省首批重点中学2005年四校联考试题数学试题（理）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义集合A﹡B=｛x︱xA且xB｝若A=｛1、2、3、4、5｝B=｛2、4、5｝则A﹡B的子集个数为（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知a为正实数，奇函数)(xf与直线ay有两个交点，则方程axf)(的实数根的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3.若存在实数x、y，使得对于ABC所在平面外一点O，有ACyABxOP，则有（）（A）OP平面ABC；（B）//OP平面ABC；（C）OP在平面ABC内；（D）点P在直线BC上．4.对于函数)0()(2acbxaxxf作)(thx的代换，则总不改变函数)(xf的值域的代换是（）（A）tth3)(（B）||)(tth（C）tthcos)(（D）tth2log)(5.已知p：不等式mxx|1|||的解集为R，q：xmxf)25()(是减函数，则p是q的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6.若)61)(41)(21xxx（…)20041(x的展开式中x的一次项系数为n，则ni)21(的值等于（）（A）i（B）i（C）1（D）17.在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是PB、PC的中点，若截面AMN⊥面PBC，此棱锥侧面积与底面积的比为（）（A）2/1（B）3/2(C)2/3(D)1/68.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元；某人想选定吉利号18，然后再从01至17号选3个连续的号；从19至29号选2个连续的号；从30至36号中选一个号组成一注，则这个人把这种要求的号买全，至少要花（）(A)1050元(B)1052元(C)2100元(D)2102元9.已知有相同的两焦点1F、2F的椭圆122ymx)1(m和双曲线122ynx)0(n，P是它们的一个交点，则21PFPF（）（A）1（B）21（C）0（D）随m、n的变化而变化10.函数,1)12()1(2xaxaay当,,,2,1na时，其抛物线在x轴上截得的线段的长度依次为,,,,,21nddd则)(lim21nnddd的值是（）（A）1（B）2（C）3（D）411.向量aba),sin3,cos3(),sin2,cos2(与b的夹角为60,则直线021sincosyx与圆21)sin()cos(22yx的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）随,的位置而定12.下列各组复合命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（）（A）p：0:,0q（B）p：过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a，b都相交；q：在ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B（C）p：不等式xx||的解集为)0,(，q：xysin在第一象限在第一象限内是增函数（D）p：,01cos1sinq：椭圆13422yx的一条准线方程是4x第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13.若二项式nxx)1(3展开式的第四项是常数项，则正整数n的值为.14.容量为100的样本数据，按从大到小的顺序分为10个组，如下表组号12345678910频数5810121514131175则第三组的频率和累积频率分别是.15.函数xbxaycos2sin的一条对称轴方程是4x，则分别以ba,的绝对值为椭圆的长半轴和短半轴的椭圆的离心率为.16.已知m、n是直线，α,β,γ是平面，给出下列命题①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α,n⊥β,则α∥β③若α内不共线三点A，B，C到β的距离都相等，则α∥β④若nα,mα,且n∥β,m∥β,则α∥β⑤若m,n为异面直线，且nα,n∥β,mβ,m∥α,则α∥β则其中正确的是.三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在ABC中，cba,,分别是CBA,,的对边长，已知cba,,成等比数列，bcacca22，求A的大小及cBbsin的值。18．（本小题满分12分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是P1，乙射击一次中靶概率是P2，已知11P、21P是方程x2－5x＋6＝0的两根,若两人各射击5次，甲的方差是45，乙的方差是910.（1）求P1和P2.（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？19．(本小题满分12分)已知函数23213)(xxaxf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）当1,0x时，经过函数)(xf的图象上任意一点的切线的倾斜角总在区间,434,0范围内，试求实数a的取值范围.20．(本小题满分12分)在直三棱柱111CBAABC中，D是BC的中点，E是1BB上的点。已知ACAB。（1）求证：DEAD；（2）设二面角1CADE的大小为45°，2,6BCAB，如果EDEC1，求1AC与平面ADE所成角的大小。21．(本小题满分12分)在数列na中，nS为其前n项和，已知2,2321aa且012311nnnSSS（*,2Nnn）（1）证明数列1na为等比数列；（2）求数列na的通项公式；（3）计算nnnanSlim；22．(本小题满分14分)如图所示，在Rt△ABC中，,22,2,900ACABCABD是线段AB的垂直平分线上的点，D到AB的距离为2，过点C的曲线E上任意一点P满足PBPA为常数。（1）建立适当的坐标系，求出曲线E的方程；（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N，且M点在D、N之间，若DNDM，求的取值范围。ABCDCEBAC1B1A1D山西省首批重点中学2004年四校联考试题(理科)数学试题参考答案及评分标准2004、4一、DDBDABDCCACB二、13.1214．0.1和0.2315.2316．(2)(5)三、解答题：17、解：由条件bcaccaacb222(2分)得：212cos,222222bcacbAbcacb（4分）又3,0AA(6分)由正弦定理：BbAasinsin及acb2,得23sinsinsin2AacAbcBb。（12分）18.（1）由题意可知甲5P1（1－P1）＝45乙5P2（1－P2）＝910－－－－－－－2’11P＋21P＝511P·21P＝6－－－－－－－－－－－－3’∴P1＝21P2＝31－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5’（2）两类情况；共击中3次'861)31()31()21()21()32()31()21()21(0222111211120222CCCC共击中4次'11361)32()31()21()21(02220222CC'1236736161概率为19．解：（1）)1()(2'axxxaxxf……1分当0a时，令0)('xf解得01xax或，令0)('xf解得01xa所以)(xf的递增区间为),0()1,(a，递减区间为)0,1(a.……3分当0a时，同理可得)(xf的递增区间为)10(a，，递减区间为),1()0,(a.……5分（2）当1,0x时，tan)('xf，……6分因为,434,0，所以1)('xf，即12xax，所以1122xaxxax且，……9分若0x，则不等式恒成立，当]1,0(x时，可得41)211(1122xxxa且41)211(1122xxxa恒成立，又0a，所以)0,2[a……12分20、（1）证：ACAB，D是BC的中点，BCAD（1分）又三棱住ABC-A1B1C1为直三棱柱，1BB面ABC，ADBB1(3分).,,1111DEADCCBBDECCBBAD面面（4分）（2）由（1）知：11,EDCEDCAD面为二面角E-AD-C1的平面角，451EDC（6分）又C1E=ED，1DEC为等腰直角三角形，AECAEDECECADDEEC1111,,,面为AC1与平面ADE所成角（8分）519090111101101ECBDEBBECDEBECBDEBDEC（10分）C1CBEA1B1AD,15)12(622121CCACAC.33155sin111ACECAEC∴AC1与平面ADE所成角的大小为arcsin33（12分）21、（1）证明:由Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=O,所以Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)-1因为Sn+1-Sn=an+1Sn-Sn-1=aN(n2)所以an+1=2an-1(n2)又a1=23a2=2也满足上式，所以an+1=2an-1(nN),则an+1-1=2（an-1）即2111nnaa{an-1}是公比为2的等比数列(文6分，理4分)（2）解由（1）知an-1=(a1-1)2n-1=21×2n-1=2n-2an=2n-2+1(nN)……………………………………(文12分，理8分)（3）解Sn=21+1+2+22+……+2n-2+n=21(2n-1)+n所以2212)12(2)12(12nnnnnnanS，则limnnans=lim222121nn…12分22、解：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系，222||||||||CBCAPBPA，（2分）所以动点的轨迹是以AB为焦点的椭圆，且1,1,2222bca，故E的方程为：1222yx（4分）（2）若l与y轴重合，|DM|=1，|DN|=3，31||||DNDM；（5分）若l与y轴不重合，D的坐标为（0，2），设直线MN的方程为：2kxy,把它代入椭圆E的方程整理得：068)21(22kxxk，（6分）23,0)21(2464222kkk,且0216,218221221kxxkkxx，（8分）nn设),(),,(2211yxNyxM，又D（0，2），且DNDM，则,21xx,)21(316310)21(36202)(1222212211221kkkxxxxxxxx这里232k,（11分）,31012又,131,10（13分）综上：.131（14分