双曲线解答题5

双曲线解答题580、设双曲线12222byax(a0,b0)上一点M(x0,y0),左、右焦点为F1、F2,离心率为e,记2211,MFrMFr,求证该双曲线的焦半径公式是：r1=020,exarexa81、求证：以双曲线焦半径为直径的圆,必与以双曲线实轴为直径的圆相切.82、求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是这点到两个焦点的距离的比例中项.83、已知双曲线的焦点为F1、F2(cFF221),实轴长为2a,试证明：平面内到两焦点F1、F2的距离的平方差的绝对值等于(2a)2的点的轨迹是已知双曲线的两条准线.84、等轴双曲线的顶点A,平行于实轴的弦MN,求证：△AMN是直角三角形.85、求证：双曲线上任一点到两条渐近线的距离的积等于定值.86、经过双曲线xy228161的右焦点F的直线l与一条渐近线l1垂直于A，交另一条渐近线l2于B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。87、已知双曲线C：12222byax,F1、F2分别是它的左右焦点,抛物线l的焦点与C的右焦点重合,l的准线与C的左准线重合,P是C和l的一个交点.求证：||||||||12121PFFFPFPF=1.88、点P在双曲线2222byax=1上,F1、F2为焦点,△PF1F2的内切圆切x轴于A点,如图,求证：A为双曲线的顶点.89、已知AB是双曲线12222byax过焦点F1的任意一条弦,以AB为直径的圆被F1相应的准线截得圆弧MN,求证：弧MN的度数为定值.90、求证：经过双曲线上任一点,作两条直线分别平行于两条渐近线,则围成的平行四边形的面积为定值.91、△F1MF2的顶点F1、F2是双曲线b2x2-a2y2=a2b2的两个焦点,点M在双曲线上,若∠F1MF2=,求证：△F1MF2的面积S=b2ctg2.92、AB是双曲线12222byax的一条弦,AB的中点为M,双曲线中心为O,如果AB、OM的斜率分别为k、k0,求证：kk0=22ab.93、设一直线交双曲线于点A、B,交双曲线的渐近线于点C、D,求证：BDAC94、已知点A是双曲线12222byax上的动点,O是双曲线中心,线段OA的中点为M.试求点M的轨迹方程,并证明点M的轨迹是与已知双曲线离心率相等的双曲线.95、证明：两条准线把两焦点间的线段分成1：2：1的双曲线是等轴双曲线.96、设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率分别为2a、2b、2c、e;焦点到相应准线的距离叫焦准距,记为p;过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长度记为d.求证：(1)p=.2)2(2epdcb97、设双曲线的焦点在渐近线上的射影为G,求证：G是准线与渐近线的交点.98、已知直线l和双曲线12222byax(a＞0,b＞0)及其渐近线依次交于A,B,C,D四点(如图),求证：|AB|=|CD|.99、证明：双曲线的一条渐近线和一条准线交于H点,则由双曲线中心O到H的线段长等于双曲线的实半轴长.100、双曲线12222byax(b＞a＞0)上有两点A、B,它们与中心O的连线互相垂直,求证2211OBOA是定值.101、双曲线xayb2222=1中一条准线和一渐近线的交点为M，与这条准线相对应的焦点为F，求证：MF与这条渐近线垂直。102、设A、B是等轴双曲线x2－y2=a2的两个顶点，MN是该双曲线垂直于x轴的弦，如图所示，求证：∠MAN＋∠MBN=1800.103、设F1、F2为双曲线12222byax(a＞0，b＞0)的左焦点和右焦点，P是其右支上的一点（非顶点），设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，e为双曲线的离心率，求证：1122eectgtg.104、求证：双曲线的渐近线、过焦点与该渐近线垂直的直线以及对应此焦点的准线经过同一点。105、过点P(－2,2)的直线被双曲线x2－2y2=8截得的弦MN的中点恰好为P,求|MN|的值.106、已知双曲线以两坐标为对称轴,点M(3.2,2.4)是其准线和渐近线的交点,求此双曲线的方程.107、一个圆的圆心在双曲线)0,0(12222babyax的右焦点F2上,该圆过双曲线的中心,交双曲线于点P,直线PF1(F1是双曲线的左焦点)是该圆的切线,求双曲线的离心率e.108、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：2kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。双曲线解答题5〈解答与提示〉80、提示：利用双曲线第二定义81、提示：利用双曲线定义和三角形中位线定理证明两圆圆心距等于半径之和或半径之差的绝对值。82、利用焦半径公式.83、设F1(－c，0)、F2(c，0)，M(x，y)为轨迹上任意一点，则|(x+c)2+y2－[(x－c)2+y2]|=4a2所以cax84、提示：证明MA、NA的斜率乘积为-185、提示：用距离公式计算,定值为2222baba86、)62(22)062(1xylllF：，，，代入渐近线方程xy228160得.设AB中点的坐标为(x0，y0),则x0=12(xA＋xB)＝-263.左准线方程为x=-236，AB被左准线平分。87、证明：acePFPF||||21又|PF1|－|PF2|=2a∴||||22||||||122121PFPFcacaFFPFPF∴||||||||||2212121PFFFFPPFPF.∴||||||||12121PFFFPFPF=1.88、证明：如图：|PF1|=|PM|＋|MF1|=|PM|＋|F1A|①|PF2|=|PN|＋|NF2|=|PN|＋|F2A|②又|PF1|－|PF2|=2a|F1A|＋|F2A|=|F1F2|=2c，|PM|=|PN|①－②得|F1A|－|F2A|=|F1F2|－|F2A|－|F2A|=2a∴2|F2A|=2c－2a∴|F2A|=c－a∴A(a,0)即A为双曲线一个顶点,同理可证,点P在左支上时,点A′(－a,0).89、先证圆与准线相交,然后得弧MN的弧度数为2arccose1(e为双曲线离心率).90、定值为21ab,a、b为双曲线的实半轴长、虚半轴长.91、提示：在△F1MF2中使用余弦定理，并结合aMFMF22192、提示：类比于椭圆。93、提示：设双曲线方程为b2x2-a2y2=a2b2,则渐近线方程为b2x2-a2y2=0,再设直线方程,利用韦达定理证明线段AB与CD的中点重合.94、1)2()2(2222byax离心率都为aba22.95、略96、略97、略98、证明：若直线l不与x轴垂直,则可设l的方程为y=kx+m,代入双曲线方程b2x2－a2y2－a2b2=0,并整理得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2+b2)=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则2222212kabkmaxx.再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程,得b2x2－a2y2=0,并整理得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2=0,设B(x3,y3),C(x4,y4),则2222432kabkmaxx.∴x1+x2=x3+x4.这说明线段AD的中点和线段BC的中点重合,故|AB|=|CD|.99、略100、定值为2211ba.提示：选择中心为极点的极坐标系.101、解：M：xacybax2，M(acabc2,)，F(c，0)，KMF=-ab，∴MF与渐近线y=bax垂直。102、略解.记∠MAX=α，∠MBX=β，则0＜α＜β＜900.由对称性∠MNA=2α，∠MBN=2β，设M(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，则x12－y12=a2.tgα=tg∠MAX=axy11tgβ=∠MBN=axy11，∴tgα·tgβ=axy11·axy11=22121axy=1.∴tgα=tgβ=tg(900－β).∵0＜900－β＜900，0＜α＜900.∴α=900－β.由此，可得结论，∠MAN＋∠MBN=1800.103、提示：应用正弦定理及比例的性质.104、略105、302106、116256919162222yxyx或.107、解：双曲线12222byax(a＞0,b＞0),中心(0,0),c2=a2+b2,左焦点F1(-1,0),右焦点F2(c,0)圆的方程为(x-c)2+y2=c2由题意,PF1为圆的切线,∴PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(1)又点P在双曲线上,∴|PF1|-|PF2|=2又|PF2|是圆的半径，∴|PF2|＝c,|PF1|=2a+c,|F1F2|=2c,代入(1)式,得(2a+c)2+c2=(2c)2,4a2+4ac-2c2=0,∴02)(2)(2acac.∴31ac，又e＞1,∴e=31.108、解：（1）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx（2）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,(62)36(13)36(1)0.kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则22629,,22,1313ABABABABkxxxxOAOBxxyykk由得而2(2)(2)(1)2()2ABABABABABABxxyyxxkxkxkxxkxx2222296237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k②由①、②得.1312k故k的取值范围为33(1,)(,1).33