双曲线及标准方程测试卷

典型例题一例1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论．解：（1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解：（1）设双曲线方程为122nymx∵P、Q两点在双曲线上，∴12592561162259nmnm解得916nm∴所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x轴上，6c，∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425∴5或30（舍去）∴所求双曲线方程是1522yx说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：160141622yx∵双曲线过点223，，∴1441618∴4或14（舍）∴所求双曲线方程为181222yx说明：（1）注意到了与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P在双曲线的左支上∴621PFPF∴362212221PFPFPFPF∴1002221PFPF∵100441222221bacFF∴9021PFF说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例4已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积．分析：利用双曲线的定义及21PFF中的勾股定理可求21PFF的面积．解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点．∴4221aPFPF,52221cFF∵9021PFF∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF∵162212221221PFPFPFPFPFPF∴1622021PFPF∴221PFPF∴1212121PFPFSPFF说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5已知两点051，F、052，F，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵5c，3a∴16435222222acb∴所求方程116922yx为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹．分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则01，B，01，C．设yxA，，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得：121BCACAB∵2BC∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：0012222babyax，∴12a，22c∴21a，1c∴43222acb∴所求双曲线方程为134422yx∵01ACAB∴21x∴点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7求下列动圆圆心M的轨迹方程：（1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切．（3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C、⊙2C的半径为1r、2r且21rr，则当它们外切时，2121rrOO；当它们内切时，2121rrOO．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M的半径为r（1）∵⊙1C与⊙M内切，点A在⊙C外∴2rMC，rMA，2MCMA∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：22a，2c，27222acb∴双曲线方程为2172222xyx（2）∵⊙M与⊙1C、⊙2C都外切∴11rMC，22rMC，112MCMC∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb∴所求的双曲线的方程为：43134422yxy（3）∵⊙M与⊙1C外切，且与⊙2C内切∴31rMC，12rMC，421MCMC∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb∴所求双曲线方程为：215422xyx说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8在周长为48的直角三角形MPN中，90MPN，43tanPMN，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知aPNPM2，cMN2，所以利用条件确定MPN的边长是关键．解：∵MPN的周长为48，且43tanPMN，∴设kPN3，kPM4，则kMN5．由48543kkk，得4k．∴12PN，16PM，20MN．以MN所在直线为x轴，以∴MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222byax)0,0(ba．由4PNPM，得42a，2a，42a．由20MN，得202c，10c．由96222acb，得所求双曲线方程为196422yx．说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c．由P是双曲线上一点，得1621PFPF．∴12PF或332PF．又22acPF，得332PF．说明：本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF．典型例题十例10若椭圆122nymx)0(nm和双曲线122tysx)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF的值是()．A．smB．)(21smC．22smD．sm分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF和2PF的关系式，再变形得结果．解：因为P在椭圆上，所以mPFPF221．又P在双曲线上，所以sPFPF221．两式平方相减，得)(4421smPFPF，故smPFPF21．选(A)．说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m，s是2a，n，t是2b．典型例题十一例11若一个动点),(yxP到两个定点)0,1(A、)0,1(1A的距离之差的绝对值为定值a)0(a，讨论点P的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a．因21AA，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0a，)2,0(a，2a，2a．解：21AA．(1)当0a时，轨迹是线段1AA的垂直平分线，即y轴，方程为0x．(2)当20a时，轨迹是以A、1A为焦点的双曲线，其方程为14142222ayax．(3)当2a时，轨迹是两条射线)1(0xy或)1(0xy．(4)当2a时无轨迹．说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12如图，圆422yx与y轴的两个交点分别为A、B，以A、B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为C、D，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a、b的值，而42c，又222bac，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义aBCAC2，又BCA为直角三角形，故只需在梯形ABCD的周长最大时，确定BC的值即可．解：设双曲线的方程为12222bxay(0,0ba)，),(00yxC(00x，00y)，tBC(220t)．连结AC，则90ACB．作ABCE于E，则有ABBEBC2．∴4)2(02yt，即4220ty．∴梯形ABCD的周长0224ytl即10)2(21822122tttl．当2t时，l最大．此时，2BC，32AC．又C在双曲线的上支上，且B、A分别为上、下两焦点，∴aBCAC2，即2322a．∴13a，即3242a．∴32222acb．∴所求双曲线方程为13232422xy．说明：解答本题易忽视BC的取值范围，应引起注意．典型例题十三例13A、B、C是我方三个炮兵阵地，A和B正东6千米，C在B正北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此s4后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1skm，A若炮击P地，求炮击的方位角．分析：点P到B、C距离相等，因此点P在线段BC的垂直平分线上．又4PAPB，因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求P的坐标，进而求炮击的方位角．解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则)0,3(B、)0,3(A、)32,5(C．因为PCPB，所以点P在线段BC的垂直平分线上．因为3BCk，BC中点)3,4(D，所以直线)4(313xyD：．①又4PAPB，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．设),(yxP，则双曲线方程为15