数学奥林匹克高中训练题(18)及答案

数学奥林匹克高中训练题（18）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963除以19971996所得的余数是(D)．(A)1(B)1995(C)1996(D)19972．(训练题23)若在抛物线)0(2aaxy的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点O，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r的最大值是(A)．(A)a21(B)a1(C)a(D)a23．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20x，则11tancotsincosxxxx的取值范围是(D)．(A),(B),0(C)),21((D),15．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)．(A)!5!7!8(B)!4!6!7(C)!7!3!10(D)!3!7!106．(训练题23)使得11cos51sinn成立的最小正整数n是(B)．(A)4(B)5(C)6(D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设Ra，若函数310),(xyxfy关于直线xy对称，且)(xfy与)lg(2axxy有公共点，则a的取值范围是6a．2．(训练题23)设1,,2iRba且存在Cz，适合1zbiazzz则ab的最大值等于18．3．(训练题23)设900，若sin1)60tan(31，则等于3050oo或．4．(训练题23)设''''DCBAABCD是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点'''',,,DCBA的圆上的点Q之间的最小距离d322．5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy中，有一条周期性折线（函数）).(:1xfyl现把该曲线绕原点O按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l，则这两条曲线与y轴及直线Nnnx围成的图形的面积等于(1[])(2[])222nnnn．6．(训练题23)设ba,都是正整数，且100)21(2ba则ba的个位数等于4．第二试一、(训练题23)(本题满分25分)求证：在复平面上，点集}01:{3zzCzS中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313z中．二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22ppxy其焦点为F.试问：是否存在过F点的弦AB（BA,均在抛物线上，且A在第一象限内），以及y）轴正半轴上的一点P，使得BAP,,三点构成一个以P为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB的方程．43()42pyx三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321AAA及点0P，构造点列0P，1P，2P，使得13kP为点kP3绕中心1A顺时针旋转150时所到达的位置，而23kP和33kP为点13kP和23kP分别绕中心2A和3A顺时针旋转105时所到达的位置，,3,2,1,0k.若对某个Nn，有03PPn，试求321AAA的各个内角的度数及三个顶点321,,AAA的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n210，nbbb210，且niiniiba11又1A1xA-1A7A5A3A-3yO-154321-3768-2存在)1(nkk使得当ki时有iiab，当ki时，有iiab.求证：niiniiba11．