数学奥林匹克高中训练题(01)及答案

数学奥林匹克高中训练题（01）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．(训练题06)设211)(xxxf，对任意自然数n，定义))(()(11xffxfnn，则)(1993xf的解析式为(C)．(A)211993xx(B)21993xx(C)211993xx(D)2199311993xx2．(训练题06)若1532zyx，则zyx5,3,2从小到大的顺序是(A)．(A)zxy523(B)yxz325(C)zyx532(D)xyy2353．(训练题06)自然数qpnm,,,满足等式2222qpnm，则qpnm(B)．(A)是质数(B)是合数(C)可能是质数，也可能是合数(D)既不是质数，也不是合数4．(训练题06)一圆台的上底半径为cm1，下底半径为cm2，母线AB为cm4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B点爬行的最短路线是(A)．(A)3234(B)3434(C)3232(D)34325．(训练题06)若复数z的共轭复数是z，且1z又)1,0(),0,1(BA为定点，则函数))(1()(izzxf取最大值时在复平面上以BAZ,,三点为顶点的图形是(C)．(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形6．(训练题06)若ABC是钝角三角形，则)arccos(sin)arccos(sin)arccos(sinCBA的值域是(C)．(A)(0,]2(B)}2{(C)3(,)22(D)3(0,)2二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题06)满足不等式loglogxxyyxy的点),(yx的集合是{(,)|1}{(,)|01}xyxyxxyxyx且且．2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V，圆柱的体积为2V，且21kVV，则k的最小值是43．3．(训练题06)一个三位自然数321aaa称为凹数，如果同时有2321,aaaa（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是285．4．(训练题06)如图，已知椭圆221,,,2xyDAABCBAB且2,23CBDA，动点P在AB上移动，则PCD的面积的最小值是46．5．(训练题06)四次方程038420234kxxx的四个根当中的两个的积是24，则k的值是140．6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是13．三、(训练题06)(本题满分20分)naaaa321,,是互不相等的自然数，证明：)(7737271naaaa)(5535251naaaa333321232()naaaa．四、(训练题06)(本题满分20分)设MP,分别在正方形ABCD的边CDBC,上，PM与以AB为半径的圆相切，线段PA与MA分别交对角线BD于NQ,，证明：五边形PQNMC内接于圆．五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性．(3个问题)第二试一、(训练题06)(本题满分35分)右图中CDEBCDABC,,都是正三角形，线段FG∥BA，连EFDG,相交于O，连CO并延长与AB的延长线相交于P，证明：EFCP．xyADCBPOOFDBPTNMPDCBAOQ二、(训练题06)(本题满分35分)假定10321,,aaaa和10321,,bbbb都是由不相等的复数所组成的序列，已知对10,,2,1i均有1210()()()100iiiababab.证明：对任何10,,2,1j，乘积1210()()()jjjbababa都等于同一常数，并求出此常数．三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意28个介于104和208之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．