数列应用题中的递推关系

数列应用题中的递推关系以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。一、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人数为：2)30)](57020(6050[2)305020(nnnnn=8670，化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。二、an-an-1=f(n),f(n)为等差或等比数列有的应用题中的数列递推关系，an与an-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出nb2件，（n∈N*）。（1）试写出销售量s与n的函数关系式；（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，sn——sn-1=nb2，可知数列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差nb2构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：解法一、直接列式：由题，s=b+2b+22b+32b+…+nb2=b(2-n21)（广告费为1千元时，s=b+2b；2千元时，s=b+2b+22b；…n千元时s=b+2b+22b+32b+…+nb2）解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，由题：nnnbssbssbss222121201，相加得Sn-S0=2b+22b+32b+…+nb2,即s=b+2b+22b+32b+…+nb2=b(2-n21)。（2）b=4000时，s=4000(2-n21),设获利为t,则有t=s·10-1000n=40000(2-n21)-1000n欲使Tn最大，则：11nnnnTTTT，得55nn，故n=5,此时s=7875。即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。三、an=C·an-1+B，其中B、C为非零常数且C≠1例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元，则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an=an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：解：由题，an=an-1（1+25%）-200（n≥2），即an=45an-1-200，设an+λ=45（an-1+λ），展开得an=45an-1+41λ，41λ=-200，λ=-800，∴an-800=45（an-1-800），即{an-800}成一个等比数列，a1=1000(1+25%)-200=1050,a1-800=250，∴an-800=250（45）n-1，an=250（45）n-1+800，令an≥4000，得（45）n≥16，解得n≥12,即至少要过12年才能达到目标。四、二个（或多个）不同数列之间的递推关系有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。例4、甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1==10%,b1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an、bn，（1）试用an-1、bn-1表示an、bn；（2）求证数列{an-bn}是等比数列，并求出an、bn的通项。分析：该问题涉及到两个不同的数列an和bn，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。解：（1）由题意an=11115154500100400nnnnbaba；bn=11115154500100400nnnnabab（2）an-bn=115353nnba=53（1na1nb）（n≥2），∴{an-bn}是等比数列。又a1-b1=-10%,∴an-bn=-10%()53n-1.……（1）又∵nanb=1na1nb=…=a1+b1=30%，……（2）联立（1）、（2）得na=-()53n-1·5%+15%；nb=()53n-1·5%+15%。