上学期高二数学期末测试题(D)

上学期高二数学期末测试题(D)班次学号姓名一、选择题：（每小题5分，共50分）1.如果654321,,,,,aaaaaa的平均数为3，那么)3(21a、)3(22a、)3(23a、)3(24a、)3(25a、)3(26a的平均数是（）A.0B.3C.6D.122.已知a、b是异面直线，下列命题中的真命题的个数为（）①过a可以作与b垂直的平面；②过a可以作与b平行的平面；③过空间任意一点可以作与a、b都平行的平面；④存在平面α、β，使aα，bβ，且α⊥β.A.0B.1C.2D.33.已知点B是)4,7,3(A在坐标平面xoz上的射影，则|OB|=（）A.25B.16C.5D.34.nyx)123(展开式中不含y的项的系数和为（）A.n2B.16C.5D.35.要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成6名课外兴趣味小组，如果按性别分层随机抽样，试问组成课外兴趣小组的概率是（）A．61525410CCCB．61535310CCCC．615615ACD．61525410AAC6.在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°，则A、B两点沿纬度圈的弧长与A、B两点间的球面距离之比为（）A.2:3B.3:2C.3:1D.1:37.nlimnn)2(421)2(2=（）A.1B.4C.6D.不存在8.有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二极管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有（）A．10B．48C．60D．809.已知)0,33(),cos,4(~2xxxB,假设存在函数)2()(Pxf则)(xf是（）A.偶函数且有最大值B.奇函数且有最大值C.奇函数且有最小值D.偶函数且有最小值10.如下图，有一个三角形的遮阴棚△ABC，AC=3m，BC=4m，AB=5m，A、B是安置在地面上南北方向的两个定点，由正西上方的太阳（用点O表示）射出的光线OCE与地面成30°的角，△ABE为遮阴棚产生的阴影，当遮阴棚与地面搭成60°的二面角时，该遮阴棚所遮阴影△ABE的面积是（）A.48m2B.24m2C.12m2D.3m2二、填空题：（每小题5分，共25分）11.观察下表:12343456745678910……设第n行的各数之和为sn，则2limnsnn=.12.三个外宾参加会议,前排9个座位中,要求相邻二外宾间至少二个座位留给本地代表,则外宾不同坐法种数是_________.(用数字作答)13.随机变量X的概率密度2(5)81(),()8xfxex，则)5(XP=__________14.抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是21，反复这样的投掷.数列}{na定义如下：an=.n,n,次投掷出现反面第次投掷出现正面第1,1txjy若Sn=a1+a2+…+an(n∈N+)，则事件“S8=2”的概率为_________，事件“S2≠0，且S8=2”的概率为_______________.15.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0ACBD；②∠BAC=60°；③三棱锥D—ABC的正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确结论的序号是.三、解答题：（本大题共75分，分别为124，13，14分）16．（本小题满分12分）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，求：(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？17．（本小题满分12分）已知nxx)1(324展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含3x的项；⑵系数最大的项．18．（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α(0°＜α＜90°＝，点1B在底面上的射影D落在BC上．(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB1⊥BC1，D为BC的中点，求α；(3)若α=arccos13，且AC=BC=AA1时，求二面角C1—AB—C的大小．19．（本小题满分12分）甲乙两个实力相当的乒乓球运动员进行比赛，比赛规则是每赛一场，胜者记一分，先得5分者为胜，奖金总额为10万元，按两人的得分比例进行分配，例如甲得5分，乙得3分；则甲得奖金的八分之五，即6.25万元。当比赛进行到4:3时，由于客观原因(不是任何一方运动员造成的原因)而终止比赛，奖金如何分配呢?得4分的甲主张按4:3的比例分配,乙不同意，主张平均分奖金;理由是如果继续比赛的话，乙还有获胜的机会。你认为如何分配才算合理?20.（本小题满分13分）据统计，某同学数学考试得120分以上的概率为41⑴设为该同学2007年上期6次考试中得分在120分以上的次数，求的分布列。⑵设为该同学2007年上期6次考试中首次得分在120分以上的经过的考试次数，求的分布列。⑶求该同学2007年上期6次考试中至少一次在120分以上的概率。21.（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011naaaaaaannn满足数列⑴已知数列}{na极限存在且大于零，求nnaAlim（将A用a表示）；⑵设;)(:,,2,1,1AbAbbnAabnnnnn证明⑶若,2,121||nbnn对都成立，求a的取值范围.C1ABCDA1B1参考答案：1~10ACCAAACDAC11.412.6013.2114.3271281515.②③16．解:(1)C52A54=1200（种）……4分(2)A55-1=119（种）……8分(3)不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：44)!51!41!31!21(!5∴满足条件的放法数为：A55-45-44=31（种）……12分17．解：⑴由题设知2245,45,10.nnnCCn即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.rrrrrrrTCxxCxrxTCxCxx令得含的项为⑵系数最大的项为中间项，即55302551212610252.TCxx18．解(1)∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴B1D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B1D=D．∴AC⊥平面BB1C1C．(2)∵AC⊥平面BB1C1C，AB1⊥BC1，由三垂线定理可知，B1C⊥BC1．∴平行四边形BB1C1C为菱形，此时，BC=BB1．又∵B1D⊥BC，D为BC中点，B1C=B1B，∴△BB1C为正三角形，∴∠B1BC=60°．(3)过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB于F，C1F，由三垂线定理，得C1F⊥AB．∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角．设AC=BC=AA1=a，在Rt△CC1E中，由∠C1BE=α=1arccos3，C1E=a322．在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a．∴∠C1FE=45°，故所求的二面角C1—AB—C为45°．解法二：(1)同解法一(2)要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即11BCAB=0，|BB1→|=|B1C→|，∴11()0ACCBBC，||||11CBBC=0，∴||||1BCBB．∴1BBBCBC，故△BB1C为正三角形，∠B1BC=60°；∵B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点．(3)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，-34a，322a)，平面ABC的法向量n1=(0，0，1)，设平面ABC1的法向量n2=(x，y，z)．由ABn2=0，及1BCn2=0，得－x＋y=0，－43y＋223z=0.∴n2=(22，22，1)．cos＜n1，n2＞=112+12+1=22，故n1，n2所成的角为45°，即所求的二面角为45°19.由于实力相当,故获胜的概率均为0.5,一个合理的方案是按其可能的比赛结果的平均数（即期望）分配:若继续比赛可分为三种情形5:3,5:4,4:5，则甲得:)(625.5109441109541108521E万元甲故甲得5.625万元，乙得4.375万元.20.（1）将该同学2007年上期6次考试中的每次考试看做一次试验，则得分在120分以上的概率为41，且每次实验结果是相互独立的。故41,6~B，以此求的分布列所以的分布列为6,5,4,3,2,1,0,434166kCkPkkk（2）由于表示该同学2007年上期6次考试中首次得分在120分以上经过的年数，显然是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，其中)5,4,3,2,1,0(kk表示前k次没有得到120分以上，但在第1k次得到了120分以上的情况，故各概率应按独立事件同时发生计算。)5,4,3,2,1,0(,4143kkPk而6表示这6次该同学没有得到120分以上的情况，故其概率为6436P,因此的分布列为：0123456P41434124341343414434154341643（3）该同学2007年上期6次考试中至少一次得分在120分以上的事件为6,,211或所以822.040967291431011661PkPPi21.（I）由两边取极限得对且存在nnnnnnaaaAaAa1),0(lim,lim1.24,0.24,122aaAAaaAAaA又解得（II）.11,11AbaAbaaaAbannnnnn得由都成立对即,2,1)(.)(11111nAbAbbAbAbAbAAbAabnnnnnnnn（III）.21|)4(21|,21||21aaab得令.,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得nbaaaaaann（i）当n=1时结论成立（已验证）.（ii）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kkbkknkkkkkAbAAbAbb21||1|)(|||||1故只须证明.232||,21||1成立对即证aAbAAbAkk.212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222kkkkkkkbaAbAbAAbAaaaaaaaA时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||的取值范围为都成立的对anbnn