普通高校春季高考数学试卷

普通高校春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z满足2)1(iz，则z的实部是__________.2．方程1)3(lglgxx的解x__________.3．在ABC中，cba、、分别是A、B、C所对的边。若105A，45B，22b，则c__________.4．过抛物线xy42的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是________________.5．已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x__________.6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABCV中，E是BC的中点，若VAE的面积是41，则侧棱VA与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{na中，31a，且对任意大于1的正整数n，点),(1nnaa在直线03yx上，则2)1(limnann_____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________个点.（1）（2）（3）（4）（5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）.10．若平移椭圆369)3(422yx，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{na中，当sraa)(sr时，}{na必定是常数数列。然而在等比数列}{na中，对某些正整数r、s)(sr，当sraa时，非常数数列}{na的一个例子是____________.二、填空题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是（）（A）xy2sin21（B）)32(sinxy（C）xtgy2（D）xxycossin14．若非空集合NM，则“Ma或Na”是“NMa”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15．在ABC中，有命题①BCACAB；②0CABCAB；③若0)()(ACABACAB，则ABC为等腰三角形；④若0ABAC，则ABC为锐角三角形.上述命题正确的是（）（A）①②（B）①④（C）②③（D）②③④ABCVE。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………16．若21aap)0(a，tqarccos)11(t，则下列不等式恒成立的是（）（A）qp（B）0qp（C）qp4（D）0qp三、解答题（本大题满分86分）17.（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知点)22cos2,1cos2(xxP和点)1,cos(xQ，其中],0[x.若向量OP与OQ垂直，求x的值.18.（本题满分12分）已知实数p满足不等式0212xx，试判断方程05222pzz有无实根，并给出证明.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P为斜三棱柱111CBAABC的侧棱1BB上一点，1BBPM交1AA于点M，1BBPN交1CC于点N.(1)求证：MNCC1；(2)在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.AA1B1BC1CMNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数axxf，122axxxg（a为正常数），且函数xf与xg的图象在y轴上的截距相等。（1）求a的值；（2）求函数xgxf的单调递增区间；（3）若n为正整数，证明：4)54(10ngnf.22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23||AB.(1)求点B的坐标；(2)若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为)1,4(，求a的值；(3)对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称||PQ的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式.普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．12．23．24．4)1(22yx5．16．41arctg7．38．12nn9．14510．14)2(9)3(22yx11．3412．)0(,,,,aaaaa，r与s同为奇数或偶数二、选择题13．D14．B15．C16．B三、解答题17.由OQOP，得0)22cos2()1cos2(cosxxx，利用1cos22cos2xx，化简后得0coscos22xx，于是0cosx或21cosx，],0[x，32或x.18.由0212xx，解得212x，212p.方程05222pzz的判别式)4(42p.212p，4241p，0，由此得方程05222pzz无实根.19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{na，其中,5.1,1281qa则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617qaa（辆）。(2)记nnaaaS21，依据题意，得3110000nnSS。于是50005.11)5.11(128nnS（辆），即326575.1n，则有,5.7n因此8n。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。20.(1)证：MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC111111,,//平面；(2)解：在斜三棱柱111CBAABC中，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS，其中为平面BBCC11与平面AACC11所组成的二面角.,1PMNCC平面上述的二面角为MNP,在PMN中，cos2222MNPMNPNMNPNPMMNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222，由于111111111,,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS.21.(1)由题意，00gf，1||a又0a，所以1a。(2)12|1|2xxxxgxf当1x时，xxxgxf32，它在,1上单调递增；当1x时，22xxxgxf，它在1,21上单调递增。(3)设ngnfnc)(1054，考查数列nc的变化规律：解不等式11nncc，由0nc，上式化为1)54(1032n解得7.3238.0lg21n，因Nn得4n，于是4321cccc，而654ccc所以4)54(10)54(10)54(1025344gfngnf。22.(1)直线AB方程为3xy，设点),(yxB，由18)2()1(322yxxy及0x，0y得4x，1y，点B的坐标为)1,4(。（2）由13222yxyax得0106)1(212xxa，设),(,),(2211yxFyxE，则4221621aaxx，得2a。（3）(解法一)设线段AB上任意一点Q坐标为)3,(xxQ，22)3()(||xxtPQ，记2)3(223222)(2)3()()(ttxxxtxf)41(t，当4123t时，即51t时，2|3|23min)(||ttfPQ，当423t，即5t时，)(xf在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2mintfPQ；当123t，即1t时，)(xf在]4,1[上单调递增，4)1()1(||2mintfPQ。综上所述，.51)4(;51;14)1()(22|3|2ttttttht(解法二)过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于)0,1('A、)0,5('B，当点P在线段'BA上，即51t时，由点到直线的距离公式得：2|3|min||tPQ；当点P的点在点'A的左边，1t时，4)1(||||2mintPAPQ；当点P的点在点'A的右边，5t时，1)4(||||2mintPBPQ。综上所述，.51)4(;51;14)1()(22|3|2tttttthtABxy'A'B1O1235