普通高等学校春季招生考试高三数学卷

普通高等学校春季招生考试高三数学卷第Ⅰ卷参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cossinS台侧=lcc)(23)]sin()[sin(21sincos其中c、c分别表示上下底面周长l表示斜高或母线长)cos()[cos(21coscos球的体积公式)]cos()[cos(21cossinV锥334R表示R表示球的半径第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）2i的共轭复数是A．2iB．2iC．2iD．2i（2）函数2()logfxx的图象是（3）有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线—定是异面直线；②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面。的一条斜线有一个平面与平面。垂直．其中正确命题的个数为A．0B．1C．2D．3（4）如果函数()sin()fxx(02)的最小正周期是T，且当2x时取得最大值，那么A．2,2TB．1,TC．2,TD．1,2T（5）设0abc．“0ac”是“曲线22axbyc为椭圆”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件（6）已知双曲线的两个焦点为1(5,0)F，2(5,0)F，P是此双曲线上的一点，且12PFPF，122PFPF，则该双曲线的方程是A．22123xyB．22132xyC．2214xyD．2214yx（7）在ABC中，已知2sincossinABC，那么ABC一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形（8）若不等式1(1)(1)2nnan对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是A．32,2B．3(2,)2C．33,2D．3(3,)2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）222lim23nnnn．（10）已知23sincos223，那么sin的值为，cos2的值为．（11）若圆22104xymx与直线1y相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为．（12）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为a．将该正方体沿对角面11BBDD切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为．（13）从—1，０，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()fxaxbxc的系数，可组成不同的二次函数共有个，其中不同的偶函数共有个(用数字作答)．（14）若关于x的不等式20xaxa的解集为(,)，则实效a的取值范围是；若关于x的不等式23xaxa的解集不是空集，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚(15)(本小题满分12分)记函数()lg(23)fxx的定义域为集合M，函数2()11gxx的定义域为集合N．求（Ⅰ）集合M，N；（Ⅱ）集合,MNMN．(16)(本小题满分14分)如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB，AC于11,BC．将11ABC沿11BC折起到111ABC的位置，使点1A在平面11BBCC上的射影恰是线段BC的中点M．求（Ⅰ）二面角111ABCM的大小；（Ⅱ）异面直线11AB与1CC所成角的大小(用反三角函数表示)．(17)(本小题满分14分)已知na是等比数列，132,18aa；nb是等差数列，12,b123412320bbbbaaa（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nb的前n项和nS的公式；（Ⅲ）设14732nnPbbbb，10121428nnbbbbQ其中n＝1，2，…，试比较nP与nQ的大小，并证明你的结论(18)(本小题满分14分)如图，Ｏ为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(0,0ab)，且交抛物线22(0)ypxp于11(,)Mxy，22(,)Nxy两点．（Ⅰ）写出直线l的截距式方程；（Ⅱ）证明：12111yyb（Ⅲ）当2ap时，求MON的大小(19)(本小题满分13分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆／小时)与汽车的平均速度v／(千米／小时)之间的函数关系为2920(0)31600vyvvv（Ⅰ）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0．1千辆／小时)（Ⅱ）若要求在该时段内车流量超过10千辆／小时，则汽车的平均速度应在什么范围内?(20)(本小题满分13分)现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,,aaaaaa其中00a．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记015,Taaa，5nnx，01,1()nnyaaaT作函数()yfx，使其图象为逐点依次连接点(,)(0,1,2,,5)nnnPxyn的折线．（Ⅰ）求(0)f和(1)f的值；（Ⅱ）设1nnPP的斜率为(1,2,3,4,5)nkn，判断12345,,,,kkkkk的大小关系；（Ⅲ）证明：当(0,1)x时，()fxx；（Ⅳ）求由函数y=x与()yfx的图象所围成图形的面积(用12345,,,,aaaaa表示)．普通高等学校春季招生考试数学参考答案一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本技能．每小题5分，满分40分．(1)D(2)A(3)C(4)A(5)B(6)C(7)B(8)A二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．(9)12(10)17,39(11)3(12)2(422)a(13)18,6(14)(4,0),,62,三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15)本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．解：（Ⅰ）32302Mxxxx；2113003,11Nxxxxxxxx或（Ⅱ）3MNxx，31,2MNxxx或(16)本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．满分14分．解：（Ⅰ）连接AM，1AG∵Ｇ是正三角形ABC的中心．且Ｍ为ＢC的中点，∴Ａ，Ｇ，Ｍ三点共线，AM⊥BC．∵11BC∥BC，∴11BC⊥AM于Ｇ，即GM⊥11BC，1GA⊥11BC，∴1AGM是二面角111ABCM的平面角．∵点1A在平面11BBCC上的射影为Ｍ，∴1AMMG，190AMG．在Rt1AMG中，由12AGAGGM得160AGM，即二面角111ABCM的大小是60．(Ⅱ)过1B作1CC的平行线交BC于Ｐ，则11ABP等于异面直线11AB与1CC所成的角．由11PBCC是平行四边形得111BPCCBP，PM=BM－BP＝12，1112ABAB．∵1AM⊥面11BBCC于Ｍ，∴1AM⊥BC，190AMP．在1RtAGM中，1133sin60322AMAG在1RtAMP中，2222211315()()222APAMPM在11ABP中，由余弦定理得2222211111111152152cos22218ABBPAPABPABBP∴异面直线11AB与1CC所成角的大小为5arccos8(17)本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）设na的公比为q，由231aaq得3q当3q时，123202618aaa，这与12320aaa矛盾，故舍去；当3q时，12320261826aaa，故符合题意．设数列nb的公差为d，由123426bbbb得1434262bd又12,b，解得3d，所以31nbn．(Ⅱ)21()31222nnnbbSnn(Ⅲ)14732,,,,nbbbb组成以3d为公差的等差数列，所以21(1)953222nPnbnndnn10121428,,,,nbbbb组成以2d为公差的等差数列，1029b，所以210(1)23226nnbnndnnQ223)95)(26223((19)2nnnnnnPQnn所以，对于正整数n，当20n时，nnPQ；当19n时，nnPQ；当18n时，nnPQ．(18)本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．满分14分。（Ⅰ）解：直线l的截距式方程为1xyab①(Ⅱ)证明：由①及22ypx消去x可得2220bypaypab②点Ｍ，N的纵坐标12,yy为②的两个根，故122yypab，122yypa．所以12121211122yybpayybyypa(Ⅲ)解：设直线OM，ON的斜率分别为12,kk，则121212,kkyyxx当2ap时，由(Ⅱ)知12224yypap，由2112ypx，2222ypx相乘得221212(4)ypxyx，则2212122()44yyxxpp因此21212212414yypkkxxp所以OMON，即90MON．(19)本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，9203(920920160083321600)yvv，当且仅当1600vv，即v=40时，等号成立，所以max92011.183y(千辆／小时)．(Ⅱ)由条件得9203(1600)10yvv，整理得28916000vv，即(25)(64)0vv解得25v64．答：当v=40千米／小时时，车流量最大，最大车流量约为11．1千辆／小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆／小时，则汽车的平均速度应大于25千米／小时且小于64千米／小时．(20)本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：0150(0)0aaaaf，015015(1)1aaaaaaf(Ⅱ)解：115,1,2,3,4,5nnnnnnyykanxxT，因为512aaa，所以512kkk．(Ⅲ)证明：由于()fx的图象是连接各点(,)(0,1,2,,5)nnnPxyn的折线，要证明()fxx，只需证明()nnfxx（n1，2，3，4)．事实上，当1(,)nnxxx时，1111()()()()()nnnnnnfxfxfxxxfxxx1111()()nnnnnnnnxxxxfxfxxxxx1111nnnnnnnnxxxxxxxxxxx下面证明()nnfxx．证法一：对任何n(n＝1，2，3，4)，5(12naaa)＝12(5)()nnnaaa1212()(5)()nnnaaanaaa≤12()(5)nnnaaanna12()(5)nnnaaana1215()nnnaaaaanT所以12()5nnnaaanfxxT证法二：对任何n(n＝1，2，3，4)，当1nk时，10211()()()nnnyyyyyyy12