空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算一、知识回顾：1、如果空间一个基底的三个向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做；常用来表示。2、在单位正交基底i，j，k中，与向量OA对应的有序实数组),,(zyx叫做；其中x叫做；y叫做；z叫做。3、设),,(321aaaa，),,(321bbbb，则a+b=；ab=；a；ba；a∥b；ab。4、设),,(321aaaa，),,(321bbbb，则a，b，ba,cos=。5、在空间直角坐标系中，若),,(111zyxA，),,(222zyxB，则BAd,。6、如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量；向量a叫做平面的。二、基础练习：1、空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标为，y轴上的点的坐标为，z轴上的点的坐标为。2、向量a=)3,0,2(与坐标平面平行；向量b=)0,3,2(与坐标平面平行。3、若向量a=)2,3,2(，b=)3,5,1(，且bam与ba23垂直，则m。4、已知点B是点)4,7,3(A在xOz平面上的射影，则2)(OB。5、若向量b与向量)2,1,2(a共线，且满足18ba，则b=。6、同时垂直于a=)1,2,2(，b=)3,5,4(的单位向量为。三、典型例题：1、已知△ABC的三顶点)2,1,0(A，)1,1,2(B，)2,1,3(C，求（1）△ABC的重心坐标；（2）BC边上的中线长；（3）∠A的余弦值；（4）△ABC的面积。2、已知四边形ABCD的顶点分别是)2,1,3(A，)1,2,1(B，)3,1,1(C，)3,5,3(D求证：四边形ABCD是一个梯形。3、如图，在空间直角坐标系中，BC=2，O是BC的中点，点A的坐标是)0,21,23(，点D在平面yOz上，且∠BDC=90º，∠DCB=30º，求（1）向量OD的坐标；（2）设向量AD和BC的夹角为，求。4、直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90º，AA1=2，M、N分别是A1B1、AA1的中点，（1）求NB的长；（2）求11,cosCBBA；（3）求证：MCBA11四、巩固练习：1、设点B是点A关于面xOy的对称点，则AB。2、已知)1,4,2(OA，)5,7,3(OB，)7,,0(OC，若A、B、C三点共线，则。3、在坐标平面yOz内，与三个已知点A（3,1,2），B（4,-2,-2），C（0,5,1）等距离的点D的坐标是。4、设向量a=)4,5,3(，b=)8,1,2(，（1）求ba23，ba及a与b所成的角；（2）确定，的关系，使ba与z轴垂直。5、A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)为空间三点，（1）求以AB，AC为边的平行四边形面积；（2）若3a，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标。6、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点，（1）求直线AE和D1F所成的角；（2）证明：AE⊥平面A1D1F