湖南省十校联考理科数学试题

湖南省十校联考理科数学试题命题人：刘菊秋南方中学谭祖荣衡阳一中何华清涟源一中黄小红株洲县五中一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1、已知BAxyyBxxyyAx则},1,)21(|{},1,log|{2A．B．（0,）C．)21,0(D．（21,）2、3)2)(1(iiiA．i3B．i3C．i3D．i3３、已知平面上三点A、B、C满足3AB，4BC，5CA，则ABBCBCCACAAB的值等于A．25B．24C．－25D．－24４、设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是A．当c⊥时，若c⊥，则∥B．当b时，若b⊥，则C．当b，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b，且c时，若c∥，则b∥c5、函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图：则函数y=f(x)g(x)的图象可能为ABCD6、的形状则已知中在ABCBAbaBAbaABC),sin()()sin()(,2222A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7、若(xx–1x)6的展开式中的第五项是215,设Sn=x–1+x–2+…+x–n,则nlimSn等于A．1B．21C．41D．61ABA1DD1CC1B1PyxOyxOyxOyxOyxOyxOy=g(x)y=f(x)8、如右图所示，在单位正方体1111DCBAABCD的面对角线BA1上存在一点P使得PDAP1最短，则PDAP1的最小值为A．2B．262C．22D．229、椭圆221axby与直线1yx交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab值A．32B．233C．932D．232710．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为A．29189B．2963C．3463D．47二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11、在条件12020yxyx下,22(1)(1)Zxy的取值范围是________。12、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移4个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1－2sin2x,则f(x)＝________.13、343()(3)4,(3)1,_________.3limxxfxffx已知则=14、在数列11,,1,6,nnnaanaa点的正整数且对任意大于中在直线6yx上，nnSna项和记为的前数列，则3)1(limnSnn。15、已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=)x(f1)x(f1,若f(1)=2+3,则f(2005)=.三、解答题（本大题共6个小题，共80分）16．（本小题满分12分）已知向量m=（sinB，1－cosB)，且与向量n（2，0）所成角为3，其中A,B,C是⊿ABC的内角．（1）求角Ｂ的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．17、（本小题满分12分）下表为某体育训练队跳高成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1~5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为y，设x，y为随即变量（注：没有相同姓名的队员）（1）求4x的概率及3x且5y的概率；GFDECBA（2）求mn的值；若y的数学期望为10540，求m，n的值.yx跳远54321跳高51310141025132104321m60n10011318、（本题满分14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，2ABCBAD，24ABBCAD，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AEx，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF(如图)。(1)当2x时，求证：BDEG；(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()fx，求()fx的最大值；(3)当()fx取得最大值时，求二面角D-BF-C的大小。19．（本小题满分14分）如图，已知A（)0)(0,4aa，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足0BQAB，.31CQBC（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，)0,4(aA，求直线AE、AF的斜率之和。20．（14分）已知等差数列}{na的首项为a，公差为b；等比数列}{nb的首项为b，公比为a，其中a，Nb，且32211ababa．（1）求a的值；（2）若对于任意Nn，总存在Nm，使nmba3，求b的值；（3）在（2）中，记}{nc是所有}{na中满足nmba3，Nm的项从小到大依次组成的数列，又记nS为}{nc的前n项和，nT是}{na的前n项和，求证：nS≥nT)(Nn．21、（本小题满分14分）设函数abxaxxxfy)()(()(、bR）。（1）若0,abba，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，与函数)(xfyFEDCBA的图象交于点))(,(00xfxP，求证：函数)(xfy在点P处的切线点为（b，0）。（2）若0(aba），且当]1||,0[ax时22)(axf恒成立，求实数a的取值范围。湖南省十校联考理科数学参考答案一、选择题1－5ABCBA6－10DADAB二、填空题11、1[,2]2；12、2cosx；13、1；14、2；15、32。三、解答题（本大题共6个小题，共80分）16．解：（1）∵m=（sinB，1-cosB),且与向量n（2，0）所成角为,3∴,3sincos1BB……………………………………………………………………3’∴tan,3,32,32032CABBB即又……………………6’（2）由（1）得)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA………………………………………………8’∵30A∴3233A……………………………………………………………………10’∴1,23sinsin,1,23)3sin(CAA当且仅当1sinsin,6CACA时…………………………………………12’17、解：（1）当4x时的概率为1940P……………2分当3x且5y时的概率为2110P…………4分（2）40373mn……………………6分8(1)40npy1(2)4py，1(3)4py，4(4)40mpy，1(5)8py因为y的数学期望为10540，所以9941054040nm………10分于是1m，2n………………………12分18、解:∵平面AEFD平面EBCF,AE⊥EF,∴AE⊥面平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）（1）BD（－2，2，2）EG（2，2，0）BDEG（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BDEG……4分；（2）∵AD∥面BFC，()fxVA-BFC＝13BFCsAE＝13124(4-x)x2288(2)333x即2x时()fx有最大值为83。……8分（3）设平面DBF的法向量为1(,,)nxyz，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0）,∴(2,3,0),BFBD（－2，2，2）,则1100nBDnBF，即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0xyzxyz，2220230xyzxy取x＝3，则y＝2，z＝1，∴1(3,2,1)n……11分面BCF的一个法向量为2(0,0,1)n则cos12,nn=12121414||||nnnn……13分二面角D-BF-C的平面角为π-arccos1414……14分。19、解（1）1(,),,(0,),33yQxyBCCQB设因为所以……………2分4(4,0),(4,),(,),33yyAaABaBQx又所以由已知240,40,9ABBQaxy则………………4分.9.922axyQaxy点轨迹方程为即……………5分（2）设过点A的直线为),(),,().0)(4(2211yxFyxEkaxky22221299360(0)36(4)(0)yaxkyayakkyyaykxak由…9分)4)(4(4444212121212211axaxayxyayxyaxyaxykkFAEA…………11分2221219,9axyaxy又，所以)4)(4(49492122121221axaxayayyayayykkFAEA)4)(4()49)((212121axaxaayyyy，由22136ayy,得FAEAkk=0…………14分20、解：（1）∵baabbaa2，a，Nb，∴.2，baababba∴.121bbabba，∴.122111baba，∴41aa，．…………4分∴a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）．∴a＝2．…………5分（2）bmam)1(2，12nnbb，由nmba3可得12)1(5nbbm．∴5)12(1mbn．∴b＝5…………8分（3）由（2）知35nan，125nnb，∴32531nnmba．∴3251nnC．∴nSnn3)12(5，)15(21nnTn．……10分∵211TS，922TS．…………11分当n≥3时，]121212[52nnTSnnn]12121)11[(52nnn]12121)1[52321nnCCCnnn0]121212)1(1[52nnnnn．∴nnTS．综上得nnTS)(Nn…………14分21、解（1）由已知)),2(4,2(2abaaP…………1分,)22(32abxbaxy…………2分所求，所求切线斜率为,42)22()2(322aababaa…………3分切线方程为,,0),2(4)2(422bxyaxaabay解得令所以，函数y=f(x)过点P的切线过点（b,0）…………4分（2）因为ba，所以2)()(axxxfy，),3)((34322axaxaaxxy…………5分当0a时，函数)3,()(axfy在上单调递增，在（3a，a）单调递减，在),(a上单调递增.所以，根据题意有,2)1(,2)3(22aafaaf即,21,2274223aaaa解之得212271aa或，结合0a，所以2271a…………8分当0a时，函数),3()(axfy在单调递增。…………9分所以，根据题意有,2)1(2aaf…………10分即222)1)(1(aaaa，整理得,0156423aaa（）令1564)(23aaaag，02)21(1251212)(22aaaag01)0(,)0,()(gag又单调递增在区间，所以“”不等式无解。…13分综上可知：2271a。…………14分