河北省唐山一中2005—2006学年度高三年级摸底考试数学理

河北省唐山一中2005—2006学年度高三年级摸底考试数学（理科）YCY本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．抛物线2xy在点P（－1，1）处的切线与直线3x－y+1=0的夹角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．)1211(lim21xxx的值为（）A．0B．21C．1D．23．在4)2(xx的展开式中，3x的系数是（）A．6B．12C．18D．244．设复数))(3(12Raiiiaz，若z为纯虚数，则a的值为（）A．－8B．－5C．－4D．－15．已知函数)0(2)10(11)(xaxxxxxf在区间（－∞，1]内是连续函数，则a的值为（）A．2B．1C．21D．416．高三某班有学生50人，其中男生30人，女生20人，为了调查这50名学生的身体状况，现采用分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则该班某男生甲被抽中的概率为（）A．501B．301C．52D．537．某机器生产的螺栓长度ξ服从正态分布N（10.05，0.062）（单位：cm），规定螺栓长度在10.05±0.12（cm）范围内为合格品，则该机器生产的螺栓中，任取一个螺栓为合格品的概率是（）A．1)2(2B．)2(211C．1)12.0(2D．1)06.0(28．省博物馆在下周内要接待师大附中等三所学校的学生参观，每天只安排一所学校，双休日不安排，其中由于师大附中学生人数多，要连续参观两天，其余两学校各参观一天，则不同的安排方案共有（）A．12种B．24种C．48种D．60种9．在钝角△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．43B．23C．43D．2310．如图，在正三棱锥P—ABC中，D为PA的中点，O为△ABC的中心，给出下列四个结论：①OD//平面PBC；②OD⊥PA；③OD⊥BC；④PA=2OD.其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把各题的正确答案填写在题中的11．不等式02223xxx的解集是.12．若棱长为3的正方体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.13．在某路段车辆检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如右频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有辆.14．已知两定点M（0，3），N（0，－3），若某曲线上存在点P，使|PM|－|PN|=4，则称该曲线为“C型曲线”，给出下列曲线方程：①222yx；②y=x；③y2=4x；④.1322yx其中是“C型曲线”的方程序号是.15．已知)(xf是定义在[－1，1]上的奇函数，且当x[－1，1]时，0)(xf，又1)1(f，则)(xf的最大值是；若对任意x[－1，1]及a[－1，1]都有12)(2attxf成立，则t的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）设函数sin2)sin()sin()(xxxf，其中)2,0(为常数.（1）求证：对任意Rx都有0)(xf；（2）若,432tan求)3(f的值.17．（12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，截面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=a，直线AC和截面A1BC所成的角为60°.（1）证明：BC⊥侧面A1ABB1；（2）求顶点C1到截面A1BC的距离.18．（14分）设0a为常数，函数)ln()(axxxf.（1）当43a时，求函数)(xf的极大值和极小值；（2）若)(xf为增函数，求a的取值范围.19．（14分）如图，A、B两个网点由5条网线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现从中任意联通三条线（另两条线关闭），记在单位时间内通过这三条网线的最大信息量的总和为ξ.（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求Eξ和Dξ的值.20．（14分）设动点P的坐标为（),yx，向量a=（x，0），b=（1，y）.已知（3a+b）⊥（3a－b）.（1）求点P的轨迹方程；（2）设直线l:y=kx－1与点P的轨迹相交于A、B两点，点P的轨迹与x轴正半轴相交于点M，试推断是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过点M？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.21．（14分）设等差数列}{na的各项均为正数，其前n项为Sn，已知.28,5243Saa（1）求数列}{na的通项公式；（2）设)11()11)(11(21nnaaaA，试推测nA与Nnn(2）的大小关系，并证明你的结论.数学（理）参考答案一、选择题1．C2．B3．D4．A5．D6．C7．A8．B9．C10．B二、填空题：11．（－1，1）∪（2，+∞）；12．9；13．60；14．②③；15．1；{022|tttt或或.}三、解答题：16．（1）将函数式化简，得).1(cossin2)(xxf……………………3分.1cos,0sin)2,0(x又.0)(.01cosxfx故……………………………………6分（2）若43tan1tan2,432tan2则31tan3tan03tan8tan32或解得（舍去）.……9分.101031tantancossinsinsin222.10103sin)13(cossin2)3(f…………………………12分17．（1）在侧面A1ABB1内作AD⊥A1B，垂足为D，∵截面A1BC⊥侧面A1ABB1.∴AD⊥截面A1BC，AD⊥BC.………………………………………………3分∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BC.而AD和A1A是侧面A1ABB1内两相交直线，∴BC⊥侧面A1ABB1.………………………………………………………………6分（2）方法一：连CD，则CD是AC在截面A1BC内的射影，由已知∠ACD=60°.………………………………………………………………10分由（1）知AB⊥BC，又AB=BC=a，∴AC=2a.在Rt△ADC中，AD=ACsin60°=26a.∵B1C1∥BC，∴∵B1C1∥截面A1BC，∴点B1，C1与截面A1BC等距离，作B1E⊥A1B垂足为E，则B1E⊥截面A1BC，∵A1ABB1为矩形，∴B1E=AD=26a.故顶点C1到截面A1BC的距离是26a.……………………………………14分方法二：作C1H⊥截面A1BC，垂足为H，连A1H.∵A1C1∥AC，∴直线A1C1和截面A1BC所成的角为60°.∵∠C1A1H=60°.…………………………………………………………9分由（1）知，AB⊥BC，又AB=BC=a，∴AC=a2，从而A1C1=a2.在Rt△A1HC1中，C1H=A1C1sin60°=26a.故顶点C1到截面A1BC的距离是26a.……………………………………12分方法三：（向量法）18．（1）当43a时，)43(243243121)(xxxxxxxf………………………2分令0)(xf，则.41)1(,04322xxx即解得.4149xx或…………………………………………………………………4分又)(xf的定义域是[0，+∞]，且当]41,0[x时，0)(xf；当)49,41(x时，0)(xf；当),49(x时，0)(xf.)(xf极大值21)41(f，)(xf极小值.3ln23)49(f………………7分（2）若)(xf为增函数，则0)(xf恒成立.即0121axx恒成立..2xax……………………………………10分1)1(22xxxa恒成立..1)2(maxxxa故a的取值范围是[1，).…………………………14分19．（1）依题意，ξ的可能取值为7，8，9，10.且P（ξ=7）=513512CC，P（ξ=8）=10313512CC，P（ξ=9）=52351212CCC，P（ξ=10）=.101135C…………………………8分∴ξ的分布列为（2）Eξ=7×51+8×103+9×52+10×101=8.4.……………………………………11分Dξ=（7－8.4）2×51+（8－8.4）2×103+（9－8.4）2×52+（10－8.4）2×101=0.84…………………………………………………………………………………………14分20．（1）由已知（3a+b）·（3a－b）=0，即3a2－b2=0..13.0)1(32222yxyx即故点P的轨迹方程是.1322yx………………………………6分（2）.022)3(1312222kxxkyxkxy设点A（),11yx，B（),11yx.则32,32221221kxxkkxx.且.360)3(840322222kkkkk且即…………………………7分又M（).,33(),,33(),0,332211yxMByxMA若以AB为直径的圆过点M，则,MBMA.0)33)(33(,02121yyxxMBMA即…………………………10分.03432)33(32)1(.034))(33()1(0)1)(1(31)(3322221212212121kkkkkxxkxxkkxkxxxxx化简整理，得,03322kk即.0)3)(32(kkξ78910P511035210123,3622kkk且，故存在实数23k满足条件.…………………………………………14分21．（1）设数列}{na的公差为d（d＞0），由已知.28)310)(5(28)2)(3(52111dddadada即.0)2)(113(.022532dddd即.125.2,01dadd从而.12)1(1ndnaan………………………………………………5分（2）1221111aA，,2238342)11)(11(212aaA.3251656342)11)(11)(11(3213aaaA……由此猜想：当2n时，.2nAn………………………………………………8分证明：①当n=2时，.22382A结论成立.②假设当n=k（k≥2）时结论成立，即.22kA则)1211(2)11(11kkaAAkkk.12144441212211212)22(222kkkkkkkkkkkkk1kn时结论成立.综合①②知，当2n时，.2nAn；当n=1时，.2nAn………………14分