杭州市2005学年第一学期期末统测数学试卷(理科)

2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题卷（理科）考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效.4.考试结束,只需上交答题卷.参考公式如果事件BA,互斥，那么)()()(BPAPBAP;如果事件BA,相互独立，那么)()()(BPAPBAP;如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(.一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(i1i1)2等于（）(A)–1(B)1(C)i(D)–42.下列四个极限运算中，正确的是()(A)1||lim0xxx(B).1)1(21lim21xxx(C)111||lim1xxx(D)1||lim0xxx3.函数y＝sin(2x+3)的图象可由函数y=sin2x的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是()(A)向左平移6(B)向右平移6(C)向左平移12(D)向右平移124.()xx26的展开式中的常数项是()(A)20(B)80(C)160(D)9605.在数列{an}中，已知a1=1,且当n≥2时，a1a2…an=n2，则a3+a5等于（）(A)37(B)1661(C)1531(D)4116.下面给出四个命题：(1)对于实数m和向量a、b恒有：m(a–b)=ma–mb;(2)对于实数m,n和向量a，恒有：(m–n)a=ma–na;(3)若ma=mb(m∈R，m0),则a=b;(4)若ma=na(m,n∈R,a≠0),则m=n.其中正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)47.)4tan(,41)4tan(,52)tan(则若=()2213)(223)(1813)(183)(DCBA8.已知f(x)=1–(x–a)(x–b)，并且m，n是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n的大小关系可能是（）(A)mabn(B)amnb(C)ambn(D)manb9．已知f(x)=0xxlog0x)3x(f3,则f(–9)等于()(A)–1.(B)0.(C)1.(D)3.10.从集合{1，2，3，……10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有()(A)10个(B)16个(C)20个(D).32个二．填空题:本大题有4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卷的相应位置.11.函数y=862)2.0(xx的单调递增区间是.12若血色素化验的准确率是p,则在10次化验中,最多一次不准的概率为.13.已知a=(1，–2)，b=(4,2),a与(a–b)的夹角为,则cos等于.14.已知命题p:|x–2|a(a0),命题q：|x2–4|1,若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.三.解答题:本大题有6小题,每小题14分，共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边,关于x的方程b(x2+1)+c(x2–1)–2ax=0有两个相等的实根,且sinCcosA–cosCsinA=0,试判定△ABC的形状.16.(本小题满分14分)解关于x的不等式lg(2ax)–lg(a+x)117．(本小题满分14分)已知向量a=(sinx,0),b=(cosx,1),其中0x32,求|21a-23b|的取值范围.18.(本小题满分14分)某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位：万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:（提示：利润=产值–成本）(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？19．(本小题满分14分)10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29μm，30μm，31μm的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为19μm，20μm,21μm的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η,周长为μ.(1)分别在下表中，填写随机变量ξ和η的分布律;(2)求周长μ的分布律,并列表表示；(3)求周长μ的期望值.20.(本小题满分14分)设函数f(x)=22axx(aN*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(–m)–m1成立.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设{an}是各项非零的数列,若)...(41)1(21nnaaaaf对任意nN*成立,求数列{an}的一个通项公式;(4)在(2)的条件下,数列{an}是否惟一确定?请给出判断,并予以证明.2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测数学参考评分标准（理科）一.选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分）题号12345678910答案ABACBDCACD二．填空题:（本大题有4小题,每小题4分,共16分）11.（–，3].12)1(9910101010ppCpC.13.55.14.0a5–2(或qxp,其中q0,p5–2).三.解答题:（本大题有6小题,每小题14分，共84分)15.(本小题满分14分)由(b+c)x2–2ax+(b–c)=0有相等实根，得⊿=4a2–4(b+c)(b–c)=0，3分即a2+c2–b2=0，∴B=90.3分又sinCcosA–cosCsinA=0，得sin(C–A)=0.2分∵–2C–A2，2分∴A=C，∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形.2分16.(本小题满分14分)由axax0，得a0,x0.3分不等式化成：lg(2ax)lg(10a+10x)3分得2ax10a+10x(a–5)x5a2分当0a5时，a–50,解得x0,2分当a=5时，不等式为0•x25,得x0,2分当a5时，a–50,解得0x55aa.2分17．(本小题满分14分)解1:|21a-23b|2=|(21sinx–23cosx,-23)|22分=(21sinx–23cosx)2+433分=sin2(x–3)+43.3分0x32,∴–3x-33,2分∴0sin2(C–3)43,2分得|21a-23b|[23,26).2分解2:|21a–23b|2=41|a|2–23a·b+43|b|22分=41sin2–23sinxcosx+43(cos2x+1)2分=41sin2–23sinxcosx+43cos2x+43=(23cosx–21sinx)2+432分=sin2(x–3)+43.2分0x32,∴–3x-33,2分∴0sin2(C–3)43,2分得|21a-23b|2[23,26).2分18.(本小题满分14分)解：(1)P(x)=R(x)–C(x)=–10x3+45x2+3240x–5000(xN且x[1,20]);2分MP(x)=P(x+1)–P(x)=–30x2+60x+3275(xN且x[1,20]).2分(2)P`(x)=–30x2+90x+3240=–30(x+9)(x–12)(xN且x[1,20])3分当1x12时,P`(x)0,P(x)单调递增,当12x20时,P`(x)0,P(x)单调递减.∴x=12时,P(x)取最大值,3分即,年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.1分(3)由MP(x)=–30(x–1)2+3305(xN且x[1,20]).∴当1x20时，MP(x)单调递减.2分MP(x)是减函数说明:随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分19．(本小题满分14分)（1）长度ξμm293031P0.30.50.24分（2）P(ζ=96)=0.30.3=0.09;P(ζ=98)=0.30.4+0.50.3=0.27;P(ζ=100)=0.50.4+0.20.3+0.30.3=0.35;P(ζ=102)=0.20.4+0.50.3=0.23;P(ζ=104)=0.20.3=0.06.得，周长分布律如下表所示周长μμm9698100102104P0.090.270.350.230.066分（3）方法1（利用周长的分布计算）Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.84分方法2（利用矩形长与宽的期望计算）由长和宽的分布率可以算得Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31)=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20由期望的性质可得Eμ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.84分20.(本小题满分14分)(1)由mammmamm12222,得)2(2)1(0]2)1[(3ammmma2分由(1)得m=12a,当a=2时,m=2,满足(2)式;当a=3时,m=1,不满足(2)式,舍去.得f(x)=222xx(x1).3分宽度ημm192021P0.30.40.3(2)由条件得nnnnnSaaaaaf41)(212)1(2)1()1(222∴an(1–an)=2Sn(3),2分令n=1,得a1=–1,又an–1(1–an–1)=2Sn–1,∴(an+an–1)(an+1–an–1)=0,由an–an–1=–1,a1=–1,得{an}是首项为–1,公差为–1的等差数列,∴an=–1+(n–1)(–1)=–n.3分(3)由(2)知,满足条件的数列不惟一.考虑到a11,由an=–an–1及an–an–1=–1和a1=–1,构造数列{–1,–2,2,–2,–3,–4,…,–n+2,…}.2分用数学归纳法证明,该数列满足(3)式,当n=1,2,3,4,5时,直接代入可得(3)式成立,假设n=k(k5)时,(3)成立,则n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=21ak(1–ak)+ak+1=21(–ak+1)(1+ak+1)+ak+1=21ak+1(1–ak+1).所以n=k+1时(3)式成立,即该数列满足题设条件.得满足条件的数列不惟一.构造数列也可能是:{–1,1,–1,–2,–3,–4,…,–n,…};{–1,–2,2,–2,2,–2,…,(–1)n–12,…}(n1){–1,–2,2,–2,–3,–4,…,–n,…}等等.