函数的解析式和定义域

高三数学全程复习（一轮）课时07函数的解析式和定义域【考点指津】1．掌握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法，三者各具特点．解析式中包括分段函数，它由一个或多个式子构成，是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质，因此要掌握函数的图象，并熟悉一些基本初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特征．2．会求简单函数的定义域．定义域是构成函数的重要要素之一，一切函数问题的研究都离不开函数的定义域，要熟练掌握求函数定义域的原则和方法．当一个函数可以用解析式表示时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际问题中，还应注意实际意义的制约．【知识在线】1．已知0,00,0,1)(xxxxxf，则f{f[f(-1)]}=．2．下列函数：①y=2x+5；②y=xx2+1；③y=|x|-x；④y=2x，x＜0，x+4，x≥0．其中定义域为R的函数共有m个，则m的值为（）A．1B．2C．3D．43．已知函数f(x)=2x2+1，x≤0，-2x，x＞0，当f(x)=33时，x=．4．若f(x-1)=2x+5，则f(x2)=（）A．2x2+3B．2x2+7C．x2+3D．x2+75．已知函数f(x)=lgxx11的定义域为A，函数g(x)=lg(1+x)–lg(1-x)的定义域为B，则下述关于A、B关系不正确的为（）A．ABB．A∪B=BC．A∩B=BD．B≠A【讲练平台】例1求函数xxxxxxf02)1(65)(的定义域．分析根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域．解由函数解析式有意义，得0010652xxxxxx≥3，或x≤2x≠1，x＞0．0＜x＜1或1＜x≤2，或x≥3．故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(．点评（1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a°中底数a≠0；④若f(x)是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；（4）必须把所有的限制条件都列出来，特别是在0)1(x中，x-1≠0，不能遗漏．例2若函数y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围．分析由函数y=lg(x2+ax+1)的定义域为R知：x2+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)=x2+ax+1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．解因函数y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，故x2+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a2-4＜0，解得-2＜a＜2，它便是所求的a的取值范围．点评（1）“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x的不等式x2+ax+1＜0的解集为，试求实数a的取值范围．问题便等价于x2+ax+1≥0的解集为R，从而有△≤0，解得–2≤a≤2．变题1已知函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R，求a的取值范围．提示：利用△≥0a≥2或a≤-2．变题2已知函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求a的取值范围．提示：分a＞0与a=0的两种情况求解，其答案为0≤a＜4．思考：变题1、变题2及原题，它们的区别何在？例3《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）级别全月应纳税所得额税率（%）123456789不超过500元部分超过500元至2000元部分超过2000元至5000元部分超过5000元至20000元部分超过20000元至40000元部分超过40000元至60000元部分超过60000元至80000元部分超过80000元至10000元部分超过100000元部分51015202530354045表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元，问他该月工资、薪金的收入多少？分析先读懂题意，正确理解“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式继续求解其它的问题．解（1）当0＜x≤1000时，y=x；当1000＜x≤1500时，扣税：(x-1000)·5%，从而所得为y=x-(x-1000)·5%=0.95x+50；当1500＜x≤3000时，扣税：(x-1500)·10%+500·5%=0.1x-125，从而所得为y=x-(0.1x-125)=0.9x+125．故y=x，（0＜x≤1000），0.95x+50，（1000＜x≤1500），0.9x+125，（1500＜x≤3000）．（2）显然，该职员的工资、薪金x满足1500＜x≤3000，故由0.1x-125=75，解得x=2000．答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．点评（1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数不管x被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；（2）写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题，还不要忘了问题的实际意义．变题在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于（D）A．500~600元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~1800元例4（1）设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)．（2）设xxxf2)1(，求f(x+1)．（3）若f(x)满足f(x)+2f(x1)=x，求f(x)．分析（1）已知了函数f(x)的类型，可采用待定系数法；（2）视（1x）为整体，采用换元法或配方法可求得f(x)的解析式，再用(x+1)整体代换f(x)中的x，即可求出f(x+1)的解析式；（3）注意到x与x1互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f(x)．解（1）设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b，∴12342bababa或32ba，∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3．（2）解法一∵1)1()1(2xxf，∴f(x)=x2-1(x≥1)，∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)．解法二令t=1x，则x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1．又t=1x≥1，∴f(x)=x2-1(x≥1)，从而f(x+1)=x2+2x(x≥0)．（3）在f(x)+2f(x1)=x①中，用x1代换x得f(x1)+2f(x)=x1②，联立①、②解得)0(32)(2xxxxf．点评（1）正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；（3）在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数f(x)的定义域．在题（2）中，由f(x)的定义域是{x∣x≥1}，则在f(x+1)中必须x+1≥1，即x≥0，从而f(x+1)的定义域是{x∣x≥0}．变题已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：（1）f(x+5)≥f(x)+5；（2）f(x+1)≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．提示：反复利用条件（2），有f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5，（★）结合条件（1）得f(x+5)=f(x)+5．于是，由（★），可得f(x+1)=f(x)+1．故g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=1．注意：数列{f(n)}（n∈N*）构成公差是1的等差数列．【知能集成】1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想．2．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等．对于实际问题，还应注意变量的实际意义或物理意义．复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．【训练反馈】1．函数23)(xxxf的定义域为（）A．[0，32]B．[0，3]C．[-3，0]D．（0，3）2．若f[g(x)]=9x+3，且g(x)=3x+1，则f(x)的解析式为（）A．3xB．3C．9(3x+1)+1D．3(9x+3)+13．已知g(x)=1-2x，f[g(x)]=1-x2x2(x≠0)，则f(0.5)=（）A．1B．3C．15D．304．若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=m，f(3)=n，则f(72)=（）A．6mnB．m3+n2C．2m+3nD．3m+2n5．函数y=f(x)的图象如题图所示，则f(x)的解析式为（）A．122xxB．1||22xxC．|x2–1|D．x2–2x+16．若函数f(x)的定义域为[a，b]，且b＞-a＞0，则函数g(x)=f(x)-f(-x)的定义域是（）A．[a，b]B．[-b，-a]C．[-b，b]D．[a，-a]7．若f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x＜5＝，则函数f(2x-3)的定义域是．45º45º11-1Oxy第5题图8．求函数y=)233(log12xx的定义域．9．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C移动一周回到A点，设x表示点P的行程，y表示线段PA的长，试求y关于x的函数式．10．若函数f(x)=3x-5kx2+4kx+3的定义域为R，求实数k的取值范围．11．已知函数f(x)=xax+b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)=1，f(x)=x只有惟一实数解，试求函数y=f(x)的解析式及f[f(-3)]的值．12．定义在（0，+∞）上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x、y为任意正实数；③任意正实数x、y满足x＞y时，f(x)＞f(y)．试回答下列问题：（1）求f(1)、f(4)；（2）试判断函数f(x)为单调性；（3）如果f(x)+f(x-3)≤2，试求x的取值范围．参考答案：【知识在线】1．π+12．D3．-44．B5．D【训练反馈】1．B2．A3．C4．D5．B6．D7．{x|-1≤x＜8}8．（0，5]9．y=.43,4,32,106,21,22,10,22xxxxxxxxxx10．提示：若k=0，则函数的定义域为R；若k≠0，则对任意x∈R，kx2+4kx+3≠0，从而，△＜0，解得0＜k＜34．从而所求k的取值范围为{k|0≤k＜34}．11．提示：f(x)=x只有惟一实数解，即xax+b=x(*)只有惟一实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0,且ax0+b≠0时,解得f(x)=2xx+2,f[f(-3)]=32,当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时