考研数学高等数学强化习题-不定积分

模块五不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0xexfxxx，1sin,0()0,0xxgxxx下述命题成立的是（）（A）()fx在[1,1]上存在原函数（B）(0)g存在（C）()gx在[1,1]上存在原函数（D）1()()xFxftdt，则(0)F存在2、若()fx的导函数是sinx,则()fx有一个原函数为()(A)1sinx(B)1sinx\(C)1cosx(D)1cosx3、在下列等式中,正确的结果是()(A)dfxdxfxdx(B)fxdxfx(C)dfxfx(D)dfxdxfx4、已知Fx是fx的一个原函数，则xxefedx_____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211xxdxx（2）222311xdxxx;（3）25613xdxxx（4）2100(1)xdxx（5）21(21)(1)dxxx（6）21(1)dxxx（7）7711xdxxx（8）226114(1)xxdxxx（9）22121dxxxx（10）3222412xxxdxxxx（11）241xdxx（12）2311xdxxx（13）33156xdxxx（14）421dxxx三．可化为有理函数的积分1．三角有理式（6、计算下列不定积分（1）1sinsin1cosxdxxx（2）3sincosdxxx（3）3sin2cosxdxx（4）211cosdxx（5）sin1sinxdxx（6）22221sincosdxaxbx（7）210sincosdxabaxbx（8）12cossindxxx（9）64tancossinxxdxx（10）41sindxx2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分.（1）311xxedxe（2）211xdxe（3）1xxdxee（4）211xdxe四．根式的处理8、计算下列不定积分（1）41dxxx（2）4311dxxx（3）3421xxdxx（4）21xedx（5）21321dxxxx（6）29xdxx（7）4211dxxx（8）3221dxxa,9、计算下列不定积分（1）2210dxaxax（2）2123dxxxx（3）22(2)1xdxxx（4）241xdxx（5）11xdxx（6）23111dxxx五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分（1）2lnsinsinxdxx（2）2ln1xdxx（3）2sinxxdx（4）22arctan1xxdxx》（5）2ln1xxdxx（6）2arctanxxedxe（7）2arcsinxdx（8）2ln1xdxx11、计算下列不定积分（1）22ln1xxdx（2）2lnxxdx（3）arctanxdx（4）sinxxdx（5）22arctan1xxdxx（6）arcsin1xdxx（7）2cossincosxxxedxx（8）22sectanxxxdxx12、若fx的一个原函数为2lnx，则xfxdx（）|(A)2lnlnxxC(B)22lnlnxxC(C)22lnlnxxC(D)2lnlnxxC13、已知sinxx是fx的原函数，求3xfxdx.14、已知曲线()yfx过点1(0,)2,且其上任一点(,)xy处的切线斜率为2ln(1)xx,求()fx.15、求积分sinlnxdx.16、已知fx有二阶连续导数，证明：121212124xxfxdxfxfxC.六．其他考查形式？17、设231,0()1,012,1xfxxxxx求()fxdx.18、设22(sin)cos2tan(01),fxxxx则()___fxⅡ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C）【解析】：()gx在[1,1]上连续，故存在原函数（A）不正确，()fx在点0x处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】：(B)^【解析】：由()fx的导函数是sinx,即()sinfxx,得()()sincosfxfxdxxdxxC,其中C为任意常数.所以()fx的原函数12()()(cos)sinFxfxdxxCdxxCxC,其中12,CC为任意常数.令10C,21C得()1sinFxx.故选(B).3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,dfxdxfxdxfx.dx！fxdxdfxfxC,C为常数.dfxdxfxdx.故应选(A).4、【答案】:xFeC【解析】:因为Fx是fx的一个原函数，故Fxfx.令xue，则xxxxxefedxfedefuduFuCFeC.二．有理函数积分5、（1）【答案】：3211ln221xxxCx|【解析】：322223212131111221111ln221xxxxdxxdxxdxxxxxxxxCx（2）【答案】：21513ln1ln1ln+1arctan4422xxxxC（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613xxdxdxdxxxxxxx2221(613)82613(34dxxdxxxx）223(1ln(613)432(1xdxxx）2）2213ln(613)4arctan22xxxC}（4）【解析】：原式=1001111()()()xxdxx99100111()()xdxdxxx98991002111()()()dxdxdxxxx979899111974999()()()xxxC（5）【解析】：设221(21)(1)211ABxCxxxx，计算得421;;555ABC.2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln21ln1arctan555xdxdxdxdxdxxxxxxxxxxxC（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)xxxxxxxxxxxx22221111111ln(1)(1)(1)1(1)11xxxdxdxCxxxxxxxxxxx（7）【解析】：72lnln17xxC（（8）【解析】：2226114421(1)1(1)xxxxxxx222611442114ln2ln1(1)1(1)1xxdxdxxxCxxxxxx（9）【解析】：222211211212111ABCDxxxxxxxxxx其中1111;;;31242ABCD.故22222111111312422112121111111ln2ln1ln1312421dxdxxxxxxxxxxxxxxCx（10）【解析】：322222421122xxxABCxDxxxxxxx#其中1;2;0;1ABCD.3222222412121ln22121122xxxdxdxxdxxxxxxxxxxx222112212arctan1331322dxxdxCxxx，故322242221ln2arctan23312xxxxdxxCxxxx（11）【解析】：111lnarctan412xxCx（12）【解析】：221121lnln1ln1arctan3633xxxxxC（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211121121lnarctanarctan41233233xxxxCxx|【解析】：42222222111122221111111121121lnarctanarctan41233233xxdxdxdxxxxxxxxxxxxxxxCxx22114321lnarctan8642323xxxCxx33322211111754421565616122111232342241111423ln14282321231224223xxxdxdxxdxxxxxxxxxddxxxdxxx2221114321lnarctan8642323dxxxxCxx6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos,sin,(tan)112ttxxxttt，令2arctanxt，则221dxdtt22222222211sin1111112lnsin1cos2422111111tanlntantan42222txttdxdttdttttCxxtttttxxxC（2）【答案】：21tanlntan2xxC【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan1tantanlntantancostan2dxxIdxxxCxxx（3）【解析】：231cossincos2cos2cosxxdxdxxx，令costx，故。322222sin1143322cos22221123ln2cos2cos3lncos222xtttdxdtdtdttdtxtttttttCxxxC（4）【解析】：222211tan1tanarctan1cos2tancos1sec22dxxdxdxCxxxx（5）【解析】：2222sin1sinsinsintantansecsec11sincoscossectanxxxxdxdxdxxdxxxdxxdxxxxxxxC（6）【解析】：22222222222tan1sec11arctantansincostantandaxxadxdxxCaxbxaxbaaxbabb（7）【解析】：22222tan1sec111tansincostantancossincos