高三数学原创题1

高三数学原创题1[题目]质地均匀的正方体木块的棱长为n,n为正整数且n≥2.在其表面涂上与材质颜色不同的蓝色后将木块分割成棱长为1的小正方体木块,假设从中任意取一块得到表面有蓝色的木块的概率为P,请研究P能否大于或小于12.[解答]:当n=2时,P=1;当n≥3时,有P=33(2)1nn,P-12=3231224162nnnn.记y=g(x)=32122416xxx,x2.g′(x)=23(88)xx,可知在(2,+∞)上y=g(x)只有一个极大值点x=422,所以函数y=g(x)在(2,422)上是增函数;在(422,+∞)上是减函数.又验证g(3)0,g(9)0,g(10)0,于是我们得到结论:当正整数2≤n≤9时,P12;当正整数n≥10时,P12.[说明]本题考查概率、导数、不等式的有关知识.由江苏海安高级中学游余祥命题,难度系数预计0.65.原创题2[题目]设定义在[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,C的端点为点A、B,M是C上的任意一点,向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),OM=(x,y),若x=x1+(1-)x2,记向量ON=OA+(1-)OB.现在定义”函数y=f(x)在[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指|MN|≤k恒成立,其中k是一个人为确定的正数.(1)证明:0≤≤1;(2)请你给出一个标准k的范围,使得[0,1]上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.[解答]:(1)由题意,x1≤x≤x2即x1≤x1+(1-)x2≤x2,∴x1-x2≤(x1-x2)≤0,∵x1-x20,∴0≤≤1.(2)由ON=OA+(1-)OB得到BN=BA,所以B、N、A三点在一条直线上,又由(1)的结论,N在线段AB上且与点M的横坐标相同.对于[0,1]上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),则有|MN|=x-x2=211()42x,故|MN|[0,14];对于[0,1]上的函数y=x3,则有|MN|=x-x3=g(x),在(0,1)上,g′(x)=1-3x2,可知在(0,1)上y=g(x)只有一个极大值点x=33,所以函数y=g(x)在(0,33)上是增函数;在(33,1)上是减函数,又g(33)=239故|MN|[0,239].经过比较,14239,所以取k[14,239),则有函数y=x2在[0,1]上可在标准k下线性近似,函数y=x3在[0,1]上不可在标准k下线性近似.[说明]本题考查向量、函数、导数、不等式的有关知识.由江苏海安高级中学游余祥命题,难度系数预计0.60.原创题3图1[题目]如图1，过椭圆)0(12222babyax的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.（1）求椭圆1522yx的“左特征点”M的坐标；（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆)0(12222babyax的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.解析：（1）设)0,(mM为椭圆1522yx的左特征点，椭圆的左焦点为)0,2(F，可设直线AB的方程为)0(2kkyx.并将它代入1522yx得：55)2(22yky，即014)5(22kyyk.设),(),,(2211yxByxA，则51,54221221kyykkyy，∵AMB被x轴平分，∴0BMAMkk.即0)()(,012212211mxymxymxymxy.即0)()2()2(211221myykyykyy.∴0)2)((22121myyyky.于是0)2(54)51(222mkkkk.∵0)2(21,0mk，即)0,25(,25Mm.（2）对于椭圆cacbayx22225,2,1,5,15.于是猜想：椭AMOyxB圆12222byax的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点.证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D.据椭圆第二定义：,,BDACBFAFBDBFACAF即∵,////BDFMAC.DMCMBFAF于是,DMCMBDAC即DMBDCMAC.∴BMDAMCtantan，又BMDAMC与均为锐角，∴BMDAMC，∴BMFAMF.∴AMBMF为的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.图2原创题4[题目]如图2，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V1，二面角G－DE－C的大小为，二面角G－CE－D的大小为，求tan:tan的值.（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.解析：（1）如图3，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是SCD的中位线FG.由正四棱锥可得ACEFACSB,.又,,//ACEGSBEGAC平面EFG，EFGP,平面EFG，PEAC.（2）由于CDES是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，CDEPV最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故图3CDEGCDEPVVmax)(.又ABCDCDESS正方形41，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的21，ABCDSCDEGCDEPVVV81)(max.（3）令aAB，EF与AC交于N点，连结GN，则GN平面ABCD.因此二面角G－DE－C和二面角G－CE－D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.N是OC的中点，N到BC的距离为a41.连结DE交OC于M，则M是DBC的重心，aMN122.又aNEaME42,65，在MNERt中，容易求得N到DE的距离为54a.故1:5tan:tan.（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持ACPE，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，AC平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作EG//SB，EF//BD，分别交SC于G，交CD于F，则平面EGF//平面SBD，从而AC平面EGF，故点P的轨迹是线段GF.