高三数学第一学期期未考试试卷

高三数学第一学期期未考试试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）考生注意：本试卷为文、理合卷，题首标有“文”、“理”分别是文科生、理科生做的题目，没有标记的是共同做的题目。题号1-1213-16171819202122总分得分一、填空题：（本题满分48分，每小题4分）1、已知集合A=)2lg(xyx,B=xyy2,则AB=2xx。2、若sin=-55,则cos2=53。3、方程03-2lgx-xlg2的解是10001.0或4、已知函数f(x)的图象与函数x3y的图象关于直线y=x对称，则f(9)=__2__。5、复数4i35z的共轭复数z＝i54536、在数列na中a1=-13,且3an=3a1n-2,则当前n项和sn取最小值时n的值是__20__。7．集合2,4,6,8,10,1,3,5,7,9AB，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,则所取两数mn的概率是_0.6_。8、在△ABC中三边之比a:b:c=2:3:19,则△ABC中最大角=32。9、（理）在7)ax1(的展开式中，3x的系数是2x和4x的系数的等差中项，若实数1a，那么a1021.（文）设实数x,y满足条件320yxyxx则y2xz的最大值是_1_。10、在棱长为4厘米的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，那么点B到平面B1EF的距离是34厘米。11、在R上定义运算△：x△y=x(1-y)若不等式(x-a)△(x+a)1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是)23,21(。12、已知数列na，nna)(231，把数列na的各项排成三角形状，如图所示．记)n,m(A表示第m行，第n列的项，则)8,10(A=53)31(2二、选择题：（本题满分16分，每小题4分）13、设a,b,c表示三条直线，，表示两个平面，下列命题中不正确的是（D）(A)//aa(B)cbacba内的射影在是内在b(C)////ccbcb内不在内在(D)baba//14、函数y=cos2x的图象的一个对称中心是（B）(A)(02，)(B)(04，)(C)(-02，)(D)(0,0)15、函数y=22x（B）1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a．．．．．．．．．．．．．．．．．．(A)在(-,+)上单调递增。(B)在1,上是减函数，在，1上是增函数。(C)在1,上是增函数，在1上是减函数。(D)在0,上是减函数，在上，0是增函数。16、某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（)ab，再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是（C）（A）（B）（C）（D）三、解答题：17、（12分）设z为虚数，且满足1z1z2，求z。解：设)0b,0aRb,a(,biaz且，______2分则i)babb(baaaz1z2222_________6分由已知得Rz1z，∴22babb=0________8分∴1ba22________10分∴z=1_______12分18、（13分）已知向量xxacos,sin2，xxbcos2,cos3定义函数f(x)=1ba。（1）求函数f(x)的最小正周期。（2）xR时求函数f(x)的最大值及此时的x值。解：f(x)=ba-1=23sinx×cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)——7分tstttsss（1）T=2=——9分（2）f(x)=2sin(2x+6)∴当2x+6=2+2k(kZ)即x=6+k(kZ)时，f(x)取最大值为2∴当x=6+k(kZ)时f(x)max=2——12分19、（本题满分13分）（文）直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，BAC=900，AB=AC=2，AA1=22，E,F分别是BC、AA1的中点。求（1）异面直线EF和A1B所成的角。（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的体积。解：（1）方法一：（略解）取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥BA1，∴∠DFE即为所求。——2分由题意易知，3DF，1DE，2AE由DE⊥AB、DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1∴△DEF为直角三角形，∠EDA=900∴tan∠DFE=3331DFDEDFEtan——9分∴030DFE,即异面直线EF和A1B所成的角为030。——10分方法二：以A为坐标原点以AB、AC、AA1所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立如图所示的直角坐标系，则A(o,o,22)B(2,0,0)E、F分别是BC、AA1中点∴E(1,1,0)F(0,0,2)——5分ACBA1EFC1B1xyzoACBA1EFC1B1∴2202BA，，211EF，，设FGBA与的夹角为∴cos=23EFBAEFBA110∴6——9分∴异面直线EF和AB所成的角为6——10分（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的体积24222221AAACAB21V1——13分（理）如图，直四棱柱1111DCBAABCD中，底面ABCD是直角梯形，90ABCBAD，8AD,2BC,5AB，异面直线1AC与DA1互相垂直。（1）求直棱柱棱1AA的长；（2）若点M在线段DA1上，DAAM1，求直线AD与平面1AMC所成的角的大小。解：（1）方法1:以A为坐标原点以AB、AD、AA1所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系，设棱1AA的长为)0a(,a则A(0,0,0)，B(5,0,0)，C(5,2,0),D(0,8,0),A1(0,0,a),B1(5,0,a),C1(5,2,a),D1(0,8,a).∴),a,2,5(AC1)a,8,0(DA1，——3分又0DAACDAAC1111，——6分得4a，∴棱1AA的长为4。——8分ABDCMC1D1B1A1方法2、设棱1AA的长为)0a(,a在A1D1上取点E1，使A1E1=2，则点E1即为点C1在平面AA1D1D上的射影，AE1⊥A1D。连C1E、AE1,易知A1D⊥平面AC1E1，在平面AA1D1D中，由Rt△AA1D～Rt△AA1E∴ADAAAAEA1111，即8aa2。∴4a∴棱1AA的长为4。——8分（2）由（1）知，M点即为AE1与A1D的交点，由题意显然∠MAD即为所求。——10分又∠MAD=∠AE1A1∴2EAAAAEAtanMADtan11111——12分∴直线AD与平面1AMC所成的角的大小是arctan2。——13分20、（本题满分14分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为t6120吨，（240t）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象。解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则tty612060400；——3分令t6＝x；则tx62，即xxy12010400240)6(102x；——5分∴当6x，即6t时，40miny，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨。—8分（2）依题意80120104002xx，得032122xx——11分解得，84x，即864t，33238t；即由838332，所以每天约有8小时供水紧张。——14分21、（本题满分16分）已知数列na的前n项和Sn=50n-n2(n*N)（1）求证na是等差数列。（2）设bn=na,求数列nb的前n项和Tn（3）求nmil(nnTS)的值解：（1）1149aS，因此，当2n时有221505011nnnaSSnnnn512n所以*512nannN………………3分∴12nnaa，故na是首项为49，公差为2的等差数列…………6分（2）若5120nan，则25.5n……………7分设12nnTbbb，当25n时，则nnba，此时，250nnTSnn；……………………9分当26n时，nnba，而2627262725nnnbbbaaaSS所以222525252125050501250nnnTSSSSSnnnn综合所得2*250,25501250,25nnnnTnNnnn………14分（3）lim(nnTS)=nmil(1250505022nnnn)=-1…………16分22、(本题满18分)设函数f(x)=ax2+bx+1（a,b为实数）,F(x)=)0()()0()(xxfxxf（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。（理）（3）设m0,n0且m+n0,a0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。解：（1）f(-1)=0∴1ab由f(x)0恒成立知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)20——（理）2分----(文)3分∴a=1从而f(x)=x2+2x+1——（理）4分----(文)6分∴F(x)=)0()1()0()1(2xxxx—（理）6分-----(文)9分（2）由（1）可知f(x)=x2+2x+1∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1—（理）8分-----(文)12分由于g(x)在2,2上是单调函数,知-222k或-222k——（理）10分---(文)16分得k-2或k6——（理）12分-----(文)18分（3）f(x)是偶函数∴f(x)=f(x)而a0∴)(xf在,0上为增函数对于F(x)当x0时-x0F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)——（理）14分当x0时-x0F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)∴F(x)是奇函数且F(x)在，0上为增函数—（理）16分m0,n0由m-n0知F(m)F(-n)∴F(m)-F(n)∴F(m)+F(n)0——（理）18分