7-专题研究2

高考调研第1页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究数学归纳法高考调研第2页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练专题要点高考调研第3页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题要点高考调研第4页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是使命题成立的最小正整数．2．数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n＝n0(n0＝N*)时，验证命题成立；(2)假设n＝k，(k≥n0，k∈N*)时命题成立，推证n＝k＋1时命题也成立，从而推出对所有的n≥n0，n∈N*命题成立，其中第一步是归纳基础，第二步是归纳递推二者缺一不可．高考调研第5页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第6页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型一证明恒等式例1求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．【解析】(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．高考调研第7页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋(12k＋1－12k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋(12k＋1－12k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.高考调研第8页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．【答案】略高考调研第9页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究1用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．高考调研第10页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(其中n∈N*)．【解析】(1)当n＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝141＋1＝18，∴等式成立．高考调研第11页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．即12×4＋14×6＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立，那么当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2高考调研第12页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习＝k＋14[k＋1＋1]，即n＝k＋1时等式成立．由(1)，(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．【答案】略高考调研第13页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型二证明不等式例2用数学归纳法证明不等式2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.【证明】①当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，则当n＝k＋1时，高考调研第14页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32k＋1k＋1·2k＋32k＋1＝2k＋32k＋1，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，即证2k＋32≥k＋1k＋2，由基本不等式2k＋32＝k＋1＋k＋22≥k＋1k＋2成立，高考调研第15页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习故2k＋32k＋1≥k＋2成立．所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1成立．【答案】略高考调研第16页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究2在运用数学归纳法时，要注意起点n0并非一定取1，也可能取0,2等值；第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清从k到k＋1时命题变化的情况，应用放缩技巧．高考调研第17页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n56(n≥2，n∈N*)．【解析】(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋1656，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k56.当n＝k＋1时，高考调研第18页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56.∴当n＝k＋1时不等式亦成立．∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．【答案】略高考调研第19页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型三归纳——猜想——证明例3已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an2＋1an－1且an0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．高考调研第20页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，a21＋2a1－2＝0.∴a1＝3－1(a10)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.∴a2＝5－3(a20)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N*)．高考调研第21页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式并整理，得a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0.解得ak＋1＝2k＋3－2k＋1(an0)．高考调研第22页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立．【答案】(1)a1＝3－1，a2＝5－3，a3＝7－5，an＝2n＋1－2n－1(2)略高考调研第23页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究3“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．高考调研第24页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；思考题3(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn512.高考调研第25页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，高考调研第26页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习bk＋1＝a2k＋1bk＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)1a1＋b1＝16512.当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)2(n＋1)·n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn高考调研第27页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习16＋12(12×3＋13×4＋…＋1nn＋1)＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1)＝16＋12(12－1n＋1)16＋14＝512.【答案】(1)a2＝6，a3＝12，a4＝20，b2＝9，b3＝16，b4＝25，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，证明略(2)略高考调研第28页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习运用数学归纳法时易犯的错误：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．高考调研第29页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．高考调研第30页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题组层级快练